Question

9> Cho a,b,c,d là các số nguyên dương thỏa \(a^2+b^2=c^2+d^2\) 

CMR: a+b+c+d là hợp số

Answer 1

Xét \(P=a^2+b^2+c^2+d^2-\left(a+b+c+d\right)\)

\(=\left(a^2-a\right)+\left(b^2-b\right)+\left(c^2-c\right)+\left(d^2-d\right)\)

\(=\left(a-1\right)a+\left(b-1\right)b+\left(c-1\right)c+\left(d-1\right)d\)

Vì (a-1)a là tích 2 số nguyên liên tiếp => (a-1)a chia hết cho 2 hay (a-1)a là số chẵn

Tương tự : (b-1)b;(c-1)c;(d-1)d cũng là các số chẵn

=>P là số chẵn

=>\(P=a^2+b^2+c^2+d^2-\left(a+b+c+d\right)\) là số chẵn

Mà theo đề: \(a^2+b^2=c^2+d^2=>a^2+b^2+c^2+d^2\) là số chẵn

=>a+b+c+d cũng là số chẵn ,mà a+b+c+d chia hết cho 2 nên sẽ lớn hơn 2 (do a,b,c,d nguyên dương)

=>a+b+c+d là hợp số (đpcm)