8/59
cho đường tròn O và điẻm P ở ngoài đường tròn . một cát tuyến qua P cắt đườngg tròn O tại M và N ( PMN không đi qua tâm ) . 2 tiếp tuyến tại M,N của đường tròn O cắt nhau tại A . vẽ AE vuông góc OP tại E
A. chứng minh A,M,E,N,O cùng thuộc 1 đường tòn
b/ tia AE cắt đườn tròn O tại I và K ( I nằm giữa A và K) . chứng minh AM^2 = AI.AK và AI/AK=MI^2/MK^2
C/ chứng minh PI là tiếp tuyế của O
thankkkkkkkkkkkkkkk
a) Ta có: \(\widehat{ANO}=90^0\)
nên N nằm trên đường tròn đường kính AO(1)
Ta có: \(\widehat{AMO}=90^0\)
nên M nằm trên đường tròn đường kính AO(2)
Ta có: \(\widehat{AEO}=90^0\)
nên E nằm trên đường tròn đường kính AO(3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra A,M,E,N,O cùng thuộc 1 đường tròn
b) Xét ΔAMK và ΔAIM có
\(\widehat{AKM}=\widehat{AMI}\left(=\dfrac{1}{2}sđ\stackrel\frown{IM}\right)\)
\(\widehat{IAM}\) chung
Do đó: ΔAMK∼ΔAIM(g-g)
Suy ra: \(\dfrac{AM}{AI}=\dfrac{AK}{AM}\)
hay \(AM^2=AK\cdot AI\)
câu b ý 2)
Theo câu b) ý 1 \(\Delta AMK\sim\Delta AIM\Rightarrow\dfrac{MI}{MK}=\dfrac{AM}{AK}\Rightarrow\dfrac{MI^2}{MK^2}=\dfrac{AM^2}{AK^2}\)
mà \(AM^2=AI.AK\Rightarrow\dfrac{MI^2}{MK^2}=\dfrac{AI.AK}{AK^2}=\dfrac{AI}{AK}\)
