(2,0 điểm): (O; R) và điểm M nằm ngoài đường tròn. Qua M về các tiếp tuyến MA và MB với đường in(O) a) Chứng minh: Tứ giác MAOB nội tiếp đường tròn. b) Kẻ dây AD/MB, nổi M và D cắt đường tròn (O) tại C, BC cất MA tại F, AC cất MB tại E. Chứng minh: E * B ^ 2 =EC.EA c) Chứng minh: E là trung điểm của MB.
a: Xét tứ giác MAOB có \(\widehat{MAO}+\widehat{MBO}=90^0+90^0=180^0\)
nên MAOB là tứ giác nội tiếp
b: Xét (O) có
\(\widehat{EBC}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến BE và dây cung BC
\(\widehat{BAC}\) là góc nội tiếp chắn cung BC
Do đó: \(\widehat{EBC}=\widehat{BAC}\)
Xét ΔEBC và ΔEAB có
\(\widehat{EBC}=\widehat{EAB}\)
\(\widehat{BEC}\) chung
Do đó: ΔEBC~ΔEAB
=>\(\dfrac{EB}{EA}=\dfrac{EC}{EB}\)
=>\(EB^2=EA\cdot EC\)
c: Xét (O) có
\(\widehat{ADC}\) là góc nội tiếp chắn cung AC
\(\widehat{MAC}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến AM và dây cung AC
Do đó: \(\widehat{ADC}=\widehat{MAC}\)
=>\(\widehat{MAC}=\widehat{EMC}\)
Xét ΔEMC và ΔEAM có
\(\widehat{EMC}=\widehat{EAM}\)
\(\widehat{MEC}\) chung
Do đó: ΔEMC~ΔEAM
=>\(\dfrac{EM}{EA}=\dfrac{EC}{EM}\)
=>\(EM^2=EA\cdot EC\)
=>\(EB^2=EM^2\)
=>EB=EM
=>E là trung điểm của BM
a) Ta cần chứng minh rằng tứ giác MAOB nội tiếp đường tròn. Để làm điều này, ta sẽ chứng minh góc MOB = góc MAO.
Vì MA và MB là tiếp tuyến của đường tròn, nên góc MOA và góc MOB là góc phân giác của góc AMB.
Gọi I là giao điểm của MA và OB.
Theo tính chất của góc phân giác, ta có:
\[ \angle MOA = \angle MOI \]
\[ \angle MOB = \angle MOI \]
Do đó, \(\angle MOA = \angle MOB\).
Vậy, tứ giác MAOB nội tiếp đường tròn.
b) Ta cần chứng minh \(E \cdot B^2 = EC \cdot EA\).
Do tứ giác MAOB là tứ giác nội tiếp, nên theo định lý Ptolemy, ta có:
\[ MA \cdot OB + MB \cdot OA = AB \cdot MO \]
Với \( MA \cdot OB = MC \cdot OA \) và \( MB \cdot OA = MC \cdot OB \), ta có:
\[ MA \cdot OB + MB \cdot OA = AB \cdot MO \]
\[ MC \cdot OA + MC \cdot OB = AB \cdot MO \]
\[ MC \cdot (OA + OB) = AB \cdot MO \]
\[ MC \cdot R = AB \cdot R \]
\[ MC = AB \]
Kẻ BF và CE, ta có:
\[ \frac{AB}{BF} = \frac{MC}{MB} \]
\[ \frac{AB}{CE} = \frac{MC}{MA} \]
Từ đó suy ra:
\[ BF = \frac{AB \cdot MB}{MC} = MB \]
\[ CE = \frac{AB \cdot MA}{MC} = MA \]
Áp dụng định lý hình học, ta có:
\[ EC \cdot EA = EC \cdot (MA + AC) = EC \cdot MA + EC \cdot AC \]
\[ = MA \cdot MC + MB \cdot MC = MC^2 = MB^2 \]
Vậy, \(E \cdot B^2 = EC \cdot EA\).
c) Ta đã chứng minh được \(E \cdot B^2 = EC \cdot EA\), từ đó suy ra \(E\) là trung điểm của \(MB\).
