Ta có: \(\frac{1}{a\left(a-b\right)\left(a-c\right)}+\frac{1}{b\left(b-a\right)\left(b-c\right)}+\frac{1}{c\left(c-a\right)\left(c-b\right)}\)
\(=\frac{1}{a\left(a-b\right)\left(a-c\right)}-\frac{1}{b\left(a-b\right)\left(b-c\right)}+\frac{1}{c\left(a-c\right)\left(b-c\right)}\)
\(=\frac{bc\left(b-c\right)-ac\left(a-c\right)+ab\left(a-b\right)}{abc\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(a-c\right)}\)
\(=\frac{b^2c-bc^2-a^2c+ac^2+ab\left(a-b\right)}{abc\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(a-c\right)}\)
\(=\frac{c\left(b^2-a^2\right)+c^2\left(a-b\right)+ab\left(a-b\right)}{abc\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(a-c\right)}\)
\(=\frac{-c\left(a-b\right)\left(a+b\right)+\left(a-b\right)\left(c^2+ab\right)}{abc\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(b-c\right)}=\frac{\left(a-b\right)\left(c^2+ab-ac-bc\right)}{abc\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(b-c\right)}\)
\(=\frac{\left(a-b\right)\left\lbrack c\left(c-a\right)-b\left(c-a\right)\right\rbrack}{abc\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(b-c\right)}=\frac{\left(a-b\right)\left(c-a\right)\left(c-b\right)}{abc\left(a-b\right)\left(c-a\right)\left(c-b\right)}=\frac{1}{abc}\)
