Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Đan Linh

cho a,b,c>0. CMR a/c+b+b/a+c+c/a+b>=a/1+a^2+b/1+b^3+c/1+c^2

Trần Tuấn Hoàng
5 tháng 4 2022 lúc 11:09

\(VT=\dfrac{a}{c+b}+\dfrac{b}{a+c}+\dfrac{c}{a+b}=\dfrac{a}{c+b}+1+\dfrac{b}{a+c}+1+\dfrac{c}{a+b}-3=\dfrac{a+b+c}{b+c}+\dfrac{a+b+c}{a+c}+\dfrac{a+b+c}{a+b}-3=\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{a+c}+\dfrac{1}{a+b}\right)-3\)

-Áp dụng BĐT Caushy Schwarz cho 3 số dương ta có:

\(VT\ge\left(a+b+c\right).\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{a+b+b+c+c+a}-3=\left(a+b+c\right).\dfrac{9}{2\left(a+b+c\right)}-3=\dfrac{9}{2}-3=\dfrac{3}{2}\left(1\right)\)

\(VP=\dfrac{2.\left(\dfrac{a}{a^2+1}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{b}{b^2+1}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{c}{c^2+1}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{3}{2}\right)}{2}=\dfrac{\dfrac{2a}{a^2+1}+1+\dfrac{2b}{b^2+1}+1+\dfrac{c}{c^2+1}-3}{2}=\dfrac{\dfrac{a^2+2a+1}{a^2+1}+\dfrac{b^2+2b+1}{b^2+1}+\dfrac{c^2+2c+1}{c^2+1}-3}{2}=\dfrac{\dfrac{\left(a+1\right)^2}{a^2+1}+\dfrac{\left(b+1\right)^2}{b^2+1}+\dfrac{\left(c+1\right)^2}{c^2+1}-3}{2}\)-Áp dụng BĐT Caushy ta có:

\(VP\le\dfrac{\dfrac{2\left(a^2+1\right)}{a^2+1}+\dfrac{2\left(b^2+1\right)}{b^2+1}+\dfrac{2\left(c^2+1\right)}{c^2+1}-3}{2}=\dfrac{2+2+2-3}{2}=\dfrac{3}{2}\left(2\right)\)

-Từ (1) và (2) ta có:

\(VT\ge\dfrac{3}{2}\ge VP\Rightarrow\dfrac{a}{c+b}+\dfrac{b}{a+c}+\dfrac{c}{a+b}\ge\dfrac{3}{2}\ge\dfrac{a}{a^2+1}+\dfrac{b}{b^2+1}+\dfrac{c}{c^2+1}\left(đpcm\right)\)

-Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)


Các câu hỏi tương tự
Phạm Trần Hương Giang
Xem chi tiết
Linh Le
Xem chi tiết
le hong tuan duy
Xem chi tiết
Nguyễn Hoàng Khang
Xem chi tiết
Hamg Khach
Xem chi tiết
Blue Frost
Xem chi tiết
Nguyễn Nghĩa Minh
Xem chi tiết
White Boy
Xem chi tiết
Vương Hải Băng
Xem chi tiết