Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Chàng trai Nhân Mã

1/2+ 1/42 + 1/62 + 1/82 + ... + 1/20222 < 1/2 (gần gấp)

Akai Haruma
30 tháng 12 2022 lúc 23:33

Lời giải:

Gọi vế trái là $A$

$2A=\frac{2}{2^2}+\frac{2}{4^2}+\frac{2}{6^2}+...+\frac{2}{2022^2}$

Xét số hạng tổng quát:

$\frac{2}{n^2}$. Ta sẽ cm $\frac{2}{n^2}< \frac{1}{(n-1)n}+\frac{1}{n(n+1)}(*)$

$\Leftrightarrow \frac{2}{n^2}< \frac{n+1+n-1}{n(n-1)(n+1)}$

$\Leftrightarrow \frac{2}{n^2}< \frac{2}{(n-1)(n+1)}$

$\Leftrightarrow \frac{2}{n^2}< \frac{2}{n^2-1}$ (luôn đúng)

Thay $n=2,4,...., 2022$ vào $(*)$ ta có:

$\frac{2}{2^2}< \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}$

$\frac{2}{4^2}< \frac{1}{3.4}+\frac{1}{4.5}$

.......

Suy ra: $2A< \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+....+\frac{1}{2022.2023}$

$2A< 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+....+\frac{1}{2022}-\frac{1}{2023}$

$2A< 1-\frac{1}{2023}< 1$

$\Rightarrow A< \frac{1}{2}$


Các câu hỏi tương tự
Trần Anh
Xem chi tiết
English Study
Xem chi tiết
Phạm thị ngà
Xem chi tiết
Nguyễn Tú Hà
Xem chi tiết
Dũng Hoàng Tuấn
Xem chi tiết
Lâm Phúc
Xem chi tiết
dong duc dung
Xem chi tiết
Lê Gia Bảo
Xem chi tiết
Vũ thị Mai Hường
Xem chi tiết