Question

1. Rút gọn các biểu thức sau:

a. A = 100² – 99² + 98² – 97² + … + 2² – 1²

b. B = 3(2² + 1) (2⁴ + 1) … (2⁶⁴ + 1) + 1

c. C = (a + b + c)² + (a + b – c)² – 2(a + b)²

2. Chứng minh rằng:

a. a³ + b³ = (a + b)³ – 3ab (a + b)

b. a³ + b³ + c³ – 3abc = (a + b + c) (a² + b² c² – ab – bc – ca)

Suy ra các kết quả:

i. Nếu a³ + b³ + c³ = 3abc thì a + b + c = 0 hoặc a = b = c

ii. Cho 1a+1b+1c=0 tính A=bca2+cab2+abc2

iii. Cho a³ + b³ + c³ = 3abc (abc ≠ 0)

Tính B=(1+ab)(1+bc)(1+ca)

3. Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức

a. A = 4x² + 4x + 11

b. B = (x – 1) (x + 2) (x + 3) (x + 6)

c. C = x² – 2x + y² – 4y + 7

Giúp mk nha m.n

Answer 1

\(1)\)

\(a)\)\(A=100^2-99^2+98^2-97^2+...+2^2-1^2\)

\(A=\left(100-99\right)\left(100+99\right)+\left(98-97\right)\left(98+97\right)+...+\left(2-1\right)\left(2+1\right)\)

\(A=100+99+98+97+...+2+1\)

\(A=\frac{100\left(100+1\right)}{2}\)

\(A=5050\)

\(b)\)\(B=3\left(2^2+1\right)\left(2^4+1\right).....\left(2^{64}+1\right)+1\)

\(B=\left(2^2-1\right)\left(2^2+1\right)\left(2^4+1\right).....\left(2^{64}+1\right)+1\)

\(B=\left(2^4-1\right)\left(2^4+1\right).....\left(2^{64}+1\right)+1\)

\(B=\left(2^8+1\right).....\left(2^{64}+1\right)+1\)

\(............\)

\(B=\left(2^{64}-1\right)\left(2^{64}+1\right)+1\)

\(B=2^{128}-1+1\)

\(B=2^{128}\)

Chúc bạn học tốt ~ 

Answer 2

\(1)\)

\(c)\)\(C=\left(a+b+c\right)^2+\left(a+b-c\right)^2-2\left(a+b\right)^2\)

\(C=\left(a+b\right)^2+2\left(a+b\right)c+c^2+\left(a+b\right)^2-2\left(a+b\right)c+c^2-2\left(a+b\right)^2\)

\(C=2\left(a+b\right)^2+2c^2-2\left(a+b\right)^2\)

\(C=2c^2\)

\(2)\)

\(a)\)\(VP=\left(a+b\right)^3-3ab\left(a+b\right)\)

\(VP=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3-3ab\left(a+b\right)\)

\(VP=a^3+3ab\left(a+b\right)+b^3-3ab\left(a+b\right)\)

\(VP=a^3+b^3=VT\) ( đpcm ) 

\(b)\)\(VT=a^3+b^3+c^3-3abc\)

\(VT=\left(a+b\right)^3-3ab\left(a+b\right)+c^3-3abc\)

\(VT=\left(a+b+c\right)\left[\left(a+b\right)^2-\left(a+b\right)c+c^2\right]-3ab\left(a+b+c\right)\)

\(VT=\left(a+b+c\right)\left(a^2+2ab+b^2-ac-bc+c^2-3ab\right)\)

\(VT=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)=VP\) ( đpcm ) 

Từ đó suy ra : 

\(i)\)\(a^3+b^3+c^3=3abc\)

\(\Leftrightarrow\)\(a^3+b^3+c^3-3abc=0\)\(\Rightarrow\)\(a+b+c=0\)

Hoặc \(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0\)

\(\Leftrightarrow\)\(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca=0\)

\(\Leftrightarrow\)\(\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(c^2-2ca+a^2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\)\(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\)\(\hept{\begin{cases}a-b=0\\b-c=0\\c-a=0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=b\\b=c\\c=a\end{cases}\Leftrightarrow}a=b=c}\)

Chúc bạn học tốt ~ 

Answer 3

\(3)\)

\(a)\)\(A=4x^2+4x+11\)

\(A=\left(4x^2+4x+1\right)+10\)

\(A=\left(2x+1\right)^2+10\ge10\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(\left(2x+1\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\)\(x=\frac{-1}{2}\)

Vậy GTNN của \(A\) là \(10\) khi \(x=\frac{-1}{2}\)

\(b)\)\(B=\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+3\right)\left(x+6\right)\)

\(B=\left(x^2+6x-x-6\right)\left(x^2+3x+2x+6\right)\)

\(B=\left(x^2+5x-6\right)\left(x^2+5x+6\right)\)

\(B=\left(x^2+5x\right)^2-36\ge-36\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(\left(x^2+5x\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\)\(\orbr{\begin{cases}x=0\\x=-5\end{cases}}\)

Vậy GTNN của \(B\) là \(-36\) khi \(x=0\) hoặc \(x=-5\)

\(c)\)\(C=x^2-2x+y^2-4y+7\)

\(C=\left(x^2-2x+1\right)+\left(y^2-4y+4\right)+2\)

\(C=\left(x-1\right)^2+\left(y-2\right)^2+2\ge2\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(\hept{\begin{cases}\left(x-1\right)^2=0\\\left(y-2\right)^2=0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=1\\y=2\end{cases}}}\)

Vậy GTNN của \(C\) là \(2\) khi \(x=1\) và \(y=2\)

Chúc bạn học tốt ~