1. Một hộp có 100 viên bi giống nhau. Có bao nhiêu cách chia số bi trên cho 30 bạn học sinh sao cho mỗi bạn ít nhất một viên bi?
2. Một lớp học có 30 em học sinh trong đó có 5 cặp anh em sinh đôi ( không có sinh ba). Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 5 học sinh trong lớp sao cho không có cặp anh em sinh đôi nào?
1.
Xếp 100 viên bi thành hàng ngang, giữa chúng có 99 khe trống (khe ngăn cách 2 viên bi). Ta cần chia 100 viên bi kia thành 30 phần sao cho phần nào cũng có bi, do đó cần đặt 29 tấm vách ngăn vào 99 khe trống nói trên.
Theo quy tắc tổ hợp, có \(C_{99}^{29}\) cách đặt, hay có \(C_{99}^{29}\) cách chia 100 viên bi cho 30 bạn sao cho bạn nào cũng có bi
2.
Chọn 5 em bất kì: \(C_{30}^5\) cách
- Chọn 5 em trong đó có 2 cặp sinh đôi: chọn 2 cặp sinh đôi từ 5 cặp có \(C_5^2\) cách, chọn 1 em còn lại có 26 cách \(\Rightarrow26.C_5^2\) cách
- Chọn 5 em trong đó có đúng 1 cặp sinh đôi: chọn 1 cặp sinh đôi có 5 cách (còn lại 4 cặp chưa chọn)
Chọn 3 em còn lại:
+ Cả 3 em đều ko thuộc các cặp sinh đôi: có \(C_{20}^3\) cách
+ Có đúng 1 em thuộc các cặp sinh đôi: chọn 1 cặp sinh đôi có 4 cách, từ cặp này chọn ra 1 em có 2 cách, chọn 2 em ko thuộc các cặp sinh đôi có \(C_{20}^2\Rightarrow\) \(8.C_{20}^2\) cách
+ Có đúng 2 em thuộc các cặp sinh đôi khác nhau: chọn 2 cặp sinh đôi có \(C_4^2\) cách, từ mỗi cặp chọn ra 1 em có 2.2=4 cách, em còn lại có \(C_{20}^1\) cách \(\Rightarrow4.C_4^2.C_{20}^1\) cách
+ Cả 3 em đều thuộc các cặp sinh đôi (khác nhau): chọn 3 cặp từ 4 cặp có \(C_4^3\) cách từ mỗi cặp chọn ra 1 em có \(2.2.2=8\) cách \(\Rightarrow8.C_4^3\) cách
\(\Rightarrow C_{30}^5-\left(26.C_5^2+5.\left(C_{20}^3+8.C_{20}^2+4.C_4^2.C_{20}^1+8.C_4^3\right)\right)\) cách chọn thỏa mãn
