Question

1) Một con ếch ở đỉnh A của lục giác đều ABCDEF. Mỗi lần ếch nhảy sang 1 trong 2 đỉnh kề với đỉnh mà nó đứng trước đó.

 a) Hỏi có bao nhiêu cách để sau \(n\) lần nhảy ếch có mặt tại C?

 b) Cũng câu hỏi a) với điều kiện ếch không được nhảy qua đỉnh D.

 

2) Cho tam giác ABC. Điểm \(P\notin\left(ABC\right)\). Trung trực của PA, PB, PC cắt nhau tạo thành tam giác XYZ. \(\left(XYZ\right)\cap\left(ABC\right)=\left\{E',F'\right\}\). Gọi D, E, F, G lần lượt là hình chiếu của P lên BC, CA, AB, E'F'. Chứng minh rằng G là tâm của \(\left(DEF\right)\).

3) Tìm tất cả các hàm \(f:ℝ\rightarrowℝ\) toàn ánh thỏa mãn \(f\left(f\left(x\right)+xy\right)=2f\left(x\right)+xf\left(y-1\right),\forall x,y\inℝ\)

4) Cho các số nguyên tố \(p_1,p_2,...,p_n\) phân biệt và các số tự nhiên \(n_1,n_2,...,n_k>1\) bất kì. CMR số cặp số \(\left(x,y\right)\) không tính thứ tự, nguyên tố cùng nhau và \(x^3+y^3=p_1^{n_1}p_2^{n_2}...p_k^{n_k}\) thì không vượt quá \(2^{k+1}\)