a,\(\int\limits^{\frac{\Pi}{6}}_0\frac{sin\left(2x+x\right)}{cos^2x}dx=\int\limits^{\frac{\Pi}{6}}_0\frac{sin2x.cosx+cos2x.sinx}{cos^2x}dx=\int\limits^{\frac{\Pi}{6}}_0\frac{2cos^2x.sinx+\left(2cos^2x-1\right)sinx}{cos^2x}dx=\int\limits^{\frac{\Pi}{6}}_0\frac{4cos^2x.sinx}{cos^2x}dx+\int\limits^{\frac{\Pi}{6}}_0\frac{d\left(cosx\right)}{cos^2x}=\int\limits^{\frac{\Pi}{6}}_0sinxdx-\frac{1}{cosx}\)
thay cận vào nhé
b)=\(\int\limits^8_4\frac{x\sqrt{x^2-16}}{x^2}dx\)
đặt \(\sqrt{x^2-16}=t\Rightarrow t^2=x^2-16\Rightarrow xdx=tdt\)và \(x^2=t^2+16\)
đổi cân thay vào ta có
\(\int\limits^{4\sqrt{3}}_0\frac{tdt}{t^2+16}=\frac{1}{2}\int\limits^{4\sqrt{3}}_0\frac{d\left(t^2+16\right)}{t^2+16}=\frac{1}{2}ln\left(t^2+16\right)\)
thay cận vào là xong
đặt \(\sqrt{x}=t\Rightarrow x=t^2\Rightarrow dx=2tdt\)
đổi cân thay vào ta có
\(\int\limits^2_1\sqrt{\frac{1}{4t^2}+\frac{t+e^{t^2}}{te^{t^4}}}dt\)=\(\int\limits^2_1\sqrt{\left(\frac{1}{2t}\right)^2+\frac{t}{te^{t^4}}+\frac{e^{t^2}}{te^{t^4}}}tdt=\int\limits^2_1\sqrt{\left(\frac{1}{2t}\right)^2+\frac{1}{e^{t^4}}+\frac{1}{te^{t^2}}}tdt=\int\limits^2_1\sqrt{\left(\frac{1}{2t}+\frac{1}{e^{t^2}}\right)^2}tdt=\int\limits^2_1\left(\frac{1}{2t}+\frac{1}{e^{t^2}}\right)tdt=\int\limits^2_1\frac{1}{2}dt+\int\limits^2_1te^{t^2}dt=\int\limits^2_1\frac{1}{2}dt-\frac{1}{2}\int\limits^2_1e^{-t^2}d\left(-t^2\right)=\frac{1}{2}\left(t-e^{-t^2}\right)\)
thay cận vào là xong
c, \(\int\limits^{\frac{\Pi}{2}}_0\sqrt[10]{1-cos^5x}sinx.cos^4xcos^5xdx\)
đặt \(\sqrt[10]{1-cos^5x}=t\Rightarrow t^{10}=1-cos^5x\Rightarrow2t^9dt=sinx.cos^4xdx\)
ta có \(\cos^5x=1-t^{10}\)
đổi cận thay vào ta có
\(2\int\limits^1_0t^9t\left(1-t^{10}\right)dt=2\int\limits^1_0t^{10}\left(1-t^{10}\right)dt\)
sau đó nhân tung ra và lấy tích phân nhé
=\(\int\limits^{ln5}_{ln2}\frac{e^x}{\left(10-e^x\right)\sqrt{e^{x-1}}}dx\)
đặt \(\sqrt{e^x-1}=t\Rightarrow t^2=e^x-1\Rightarrow2tdt=e^xdx\)
ta suy ra được \(e^x=t^2+1\)
đổi cận thay vào ta có
\(\int\limits^4_1\frac{2tdt}{\left(10-1-t^2\right)t}=\int\limits^4_1\frac{2dt}{9-t^2}=2\int\limits^4_1\frac{dt}{\left(3-t\right)\left(3+t\right)}=\frac{1}{3}\int\limits^4_1\left(\frac{1}{3-t}+\frac{1}{3+t}\right)dt\)
sau đó tính bình thường nhé
lưu ý
đối với tích phân chứa căn thức thì cách làm là đặt toàn bộ căn thức bằng t sau đó biến đổi tích phân theo ăn để tính
v,\(\begin{cases}u=ln\left(1+x^2\right)\\dv=x^2dx\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}du=\frac{2x}{1+x^2}\\v=\frac{x^3}{3}\end{cases}\)
\(I=\frac{x^3}{3}.ln\left(x^2+1\right)-\frac{2}{3}\int\limits^1_0\frac{x^4}{1+x^2}dx=\frac{x^3}{3}.ln\left(x^2+1\right)-\frac{2}{3}I_1\)
tính \(I_1=\int\limits^1_0\frac{x^4}{1+x^2}dx=\int\limits^1_0\left(x^2-1\right)dx-\int\limits^1_0\frac{1}{x^2+1}dx=\int\limits^1_0\left(x^2-1\right)dx-I_2\)
tính \(I_2=\int\limits^1_0\frac{1}{x^2+1}dx\)
đặt x=tan t suy ra dx=\(\frac{1}{cos^2t}\)dt
đổi cận ta đc
\(I_2=\int\limits^{\frac{\Pi}{4}}_0\frac{cos^2t}{cos^2t}dt=\int\limits^{\frac{\Pi}{4}}_0dt=\frac{\Pi}{4}\)
thay vào ta đc kết quả
t
p, \(\int\limits^2_1\frac{dx}{x\left(x^{2012}+1\right)}=\int\limits^2_1\frac{x^{2011}dx}{x^{2012}\left(x^{2012}+1\right)}\)=
đặt \(x^{2012}+1=t\Rightarrow2012x^{2011}dx=dt\)
đổi cân thay vào là ra tích phân dạng \(\int\limits^d_c\frac{dx}{\left(x-a\right)x}=\frac{1}{a}\int\limits^d_c\left(\frac{1}{x-a}-\frac{1}{x}\right)dx\)=\(\frac{1}{a}ln\left|\frac{x-a}{x}\right|\)
đặt \(\sqrt{x}=t\Rightarrow x=t^2\Rightarrow dx=2tdt\)
đổi cận ta có
\(I=2\int\limits^4_0t^2sintdt\)
đặt \(\begin{cases}u=t^2\\sintdt=dv\end{cases}\)\(\Rightarrow\begin{cases}2tdt=du\\v=-cost\end{cases}\)
\(I=-2t^2cost+4\int\limits^4_0tcostdt\)=\(-2t^2cost+4I_2\)
tính \(I_2\)
tính như tích phân \(I_1\)
chú ý: Đối với thích phân dạng \(\int\limits^b_ax^ncosxdx\)hoặc \(\int\limits^b_ax^nsinxdx\) thì số mũ của x là bao nhiêu thì tích phân từng phần bấy nhiêu lần
s)
Đặt \(\sqrt{e^x-2}=t\Rightarrow e^x-2=t^2\Rightarrow e^xdx=2tdt\)
đổi cân thay vào tích phân ta có
\(\int\limits^1_0\frac{2t\left(t^2+2\right)dt}{t^2+1+t}=2\int\limits^1_0\left(t-1+\frac{2t+1}{t+t^2+1}\right)dt=\int\limits^1_0\left(t-1\right)dt+\int\limits^1_0\frac{d\left(t^2+t+1\right)}{t^2+t+1}\)
tính nốt tích phân cơ bản là xong
u)=\(\int\limits^3_0\frac{2x\left(x+1\right)-\left(x+1\right)}{\sqrt{x+1}}dx=\int\limits^3_0\frac{\left(2x-1\right)\left(x+1\right)}{\sqrt{x+1}}dx=\int\limits^3_0\left[2\left(x+1\right)-3\right]\sqrt{x+1}dx=2\int\limits^3_0\left(x+1\right)^{\frac{3}{2}}dx-3\int\limits^3_0\left(x+1\right)^{\frac{1}{2}}dx\)
tính nốt tích phân thường gặp là đc
t) =\(\int\limits^{\frac{\Pi}{3}}_0\frac{x+sin^2x}{2cos^2x}dx=\int\limits^{\frac{\Pi}{3}}_0\frac{x}{2cos^2x}+\int\limits^{\frac{\Pi}{3}}_0\frac{1-cos^2x}{2cos^2x}dx=\frac{1}{2}\int\limits^{\frac{\Pi}{3}}_0\frac{x}{cos^2x}+\frac{1}{2}\int\limits^{\frac{\Pi}{3}}_0\frac{dx}{cos^2x}-\frac{1}{2}\int\limits^{\frac{\Pi}{3}}_0dx=\frac{1}{2}I+\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\Pi}{6}\)
ta tính I
Đặt \(\begin{cases}x=u\\\frac{1}{cos^2x}dx=dv\end{cases}\) suy ra \(\begin{cases}du=dx\\v=tanx\end{cases}\)
\(I=xtanx-\int\limits^{\frac{\Pi}{3}}_0tanxdx\)=\(\frac{\Pi\sqrt{3}}{3}-\int\limits^{\frac{\Pi}{3}}_0\frac{sinx}{cosx}dx=\frac{\Pi\sqrt{3}}{3}+\int\limits^{\frac{\Pi}{3}}_0\frac{d\left(cosx\right)}{cosx}=\frac{\Pi\sqrt{3}}{3}+ln\frac{1}{2}\)
thay vào I vào tích phân ban đầu ta đc kết quả
=\(\sqrt{2}\int\limits^{\frac{\Pi}{4}}_{\frac{\Pi}{6}}\frac{cos^2x}{sin^3x\left(sinx+cosx\right)}dx\)=\(\sqrt{2}\int\limits^{\frac{\Pi}{4}}_{\frac{\Pi}{6}}\frac{\frac{cos^2x}{sin^2x}}{\frac{sin^3\left(sinx+cosx\right)}{sin^2x}}dx=\sqrt{2}\int\limits^{\frac{\Pi}{4}}_{\frac{\Pi}{6}}\frac{cot^2x}{sin^2x\left(cotx+1\right)}dx\)
đặt cotx=t suy ra \(\frac{1}{sin^2x}dx=dt\)
đổi cân ta đc \(\sqrt{2}\int\limits^1_{\frac{1}{\sqrt{3}}}\frac{t^2}{t+1}dt\)=\(\sqrt{2}\int\limits^1_{\frac{1}{\sqrt{3}}}\left(t-1\right)dt+\sqrt{2}\int\limits^1_{\frac{1}{\sqrt{3}}}\frac{1}{t+1}dt\)
tính nốt tích phân thường gặp ta đc kết quả
