1 ) Cho a , b , c là các số dương thỏa mãn : \(\left(1+\frac{a}{b}\right).\left(1+\frac{b}{c}\right).\left(1+\frac{c}{a}\right)=8\)
Tính giá trị của biểu thức \(P=\frac{a^3+b^3+c^3}{abc}\)
2 . Cho a , b , c là 3 số dương thỏa mãn : \(\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}=2\) . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :
\(Q=abc\)
Bài 2:
Ta có: \(\frac{1}{1+a}=1-\frac{1}{1+b}+1-\frac{1}{1+c}=\frac{b}{1+b}+\frac{c}{1+c}\ge2\sqrt{\frac{bc}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}}\)
Chứng minh tương tự ta có:
\(\frac{1}{1+b}\ge2\sqrt{\frac{ca}{\left(1+c\right)\left(1+a\right)}}\)
\(\frac{1}{1+c}\ge2\sqrt{\frac{ab}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)}}\)
Ta nhân các BĐT vừa nhận được ta có:
\(\frac{1}{1+a}.\frac{1}{1+b}.\frac{1}{1+c}\ge8\frac{abc}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)}\)
Hay: \(abc\le\frac{1}{8}\)
\(\Rightarrow Max_Q=\frac{1}{2}\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{2}\)
Bài 1 :
\(\left(1+\frac{1}{a}\right)\left(1+\frac{b}{c}\right)\left(1+\frac{c}{a}\right)=8\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}{abc}=8\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)=8abc\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(ab+bc+ac+c^2\right)-8abc=0\)
\(\Leftrightarrow a^2b+abc+a^2c+ac^2+ab^2+b^2c+abc+bc^2-8abc=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2b-2abc+c^2b\right)+\left(a^2c-2abc+b^2c\right)+\left(ab^2-2abc+ac^2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow b\left(a-c\right)^2+c\left(a-b\right)^2+a\left(b-c\right)^2=0\)
Do a , b , c dương nen
\(b\left(a-c\right)^2;c\left(a-b\right)^2;a\left(b-c\right)^2\ge0\forall a,b,c\)
\(\Rightarrow b\left(a-c\right)^2+c\left(a-b\right)^2+a\left(b-c\right)^2\ge0\)
Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\) thay vào P ta được
\(P=\frac{a^3+b^3+c^3}{a.a.a}=\frac{3a^3}{a^3}=3\)
\(\left(1+\frac{a}{b}\right)\left(1+\frac{b}{c}\right)\left(1+\frac{c}{a}\right)\ge2\sqrt{\frac{a}{b}}.2\sqrt{\frac{b}{c}}.2\sqrt{\frac{c}{a}}=8\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c\)
\(\Rightarrow P=\frac{3a^3}{a^3}=3\)
2. \(\frac{1}{a+1}=1-\frac{1}{b+1}+1-\frac{1}{c+1}=\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}\ge2\sqrt{\frac{bc}{\left(b+1\right)\left(c+1\right)}}\)
Tương tự: \(\frac{1}{b+1}\ge2\sqrt{\frac{ca}{\left(c+1\right)\left(a+1\right)}}\) ; \(\frac{1}{c+1}\ge2\sqrt{\frac{ab}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)}}\)
Nhân vế với vế và rút gọn mẫu ta được:
\(1\ge8abc\Rightarrow abc\le\frac{1}{8}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{2}\)
Bài 2 :
Ta có :
\(\frac{1}{1+a}=1-\frac{1}{1+b}+1-\frac{1}{1+c}\)
\(=\frac{b}{1+b}+\frac{c}{1+c}\ge2\sqrt{\frac{bc}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}}\)
Tương tự ta cũng có :
\(\frac{1}{1+b}\ge2\sqrt{\frac{ac}{\left(1+a\right)\left(1+c\right)}};\frac{1}{1+c}\ge2\sqrt{\frac{ab}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)}}\)
\(\frac{1}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)}\ge8\sqrt{\frac{a^2b^2c^2}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)}}\)
\(\frac{1}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)}\ge8\frac{abc}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)}\)
\(\Rightarrow abc\le\frac{1}{8}\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=b=c\\\frac{1}{1+a}=\frac{1}{1+b}=\frac{1}{1+c}=2\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{2}\)
Vậy GTLN của \(Q\)là \(\frac{1}{8}\) khi \(a=b=c=\frac{1}{2}\)
