PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.
Câu 1. Bên trong hình vuông cạnh 6, dựng hình sao bốn cánh đều như hình vẽ bên (các kích thước cần thiết cho như ở trong hình). Tính thể tích \( V \) của khối tròn xoay sinh ra khi quay hình sao đó quanh trục \( Ox \) bằng \( a\pi \). Tính \( a^2 + 1 \) 197
Câu 2. Một người đứng trên mặt đất cùng lúc điều khiển 3 chiếc máy bay không người lái. Giả sử thời điểm hiện tại, trong hệ trục tọa độ \( Oxyz \) cho trước, tọa độ của ba chiếc máy bay lần lượt là \( M(500; 300; 200), B(-200; 200; 100), C(60; 40; 90) \), mỗi đơn vị trên trục tương ứng với 1 mét trên thực tế. Mặt đất là mặt phẳng \( (Oxy) \). Để có thể điều khiển cả ba chiếc máy bay một cách tốt nhất thì tổng bình phương khoảng cách từ người đó đến ba chiếc máy bay là nhỏ nhất. Tổng bình phương khoảng cách đó đạt giá trị nhỏ nhất bằng bao nhiêu kilomet? (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).
Câu 3. Một người đứng ở mặt đất điều khiển flycam để phục vụ chương trình truyền hình. Chọn hệ trục tọa độ với gốc tọa độ là vị trí người điều khiển, mặt phẳng \( (Oxy) \) trùng với mặt đất. Chiếc flycam đang ở vị trí có tọa độ \( (1; 2; 4) \) và chuyển động trên đường thẳng song song với mặt đất. Biết hướng chuyển động \( \mathbf{u}(a; 2; b) \) (với \( a, b \) là các số nguyên) sao cho khoảng cách từ vị trí người điều khiển đến đường thẳng chuyển động của flycam là bé nhất. Tính \( 2a + 3b \).
1. Ko hiểu đề, người ta ghi thế kia thì ko biết là lúc xoay sẽ xoay cả hình vuông hay chỉ xoay hình cánh sao, hoặc là hình bị xoay là hình vuông bị cắt phần cánh sao?
Nếu chỉ xoay hình cánh sao thì đơn giản, ta xét 1 cánh là được (sau đó nhân 4 kết quả).
Đường thẳng cánh sao nằm trên đi qua (0,1) và (3,3) nên có pt: \(y=\dfrac{2}{3}x+1\)
Đường thẳng cánh sao nằm dưới đi qua (1,0), (3,3) nên có pt: \(y=\dfrac{3}{2}x-\dfrac{3}{2}\)
Thể tích:
\(V=4\pi.\left(\int\limits^3_0\left(\dfrac{2}{3}x+1\right)^2dx-\int\limits^3_1\left(\dfrac{3}{2}x-\dfrac{3}{2}\right)^2dx\right)=28\pi\)
2.
Do người đó thuộc mp Oxy nên gọi tọa độ người đó là
\(A\left(x;y;0\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{MA}=\left(x-500;y-300;-200\right)\\\overrightarrow{BA}=\left(x+200;y-200;-100\right)\\\overrightarrow{CA}=\left(x-60;y-40;-90\right)\end{matrix}\right.\)
\(P=MA^2+BA^2+CA^2\)
\(=\left(x-500\right)^2+\left(y-300\right)^2+\left(x+200\right)^2+\left(y-200\right)^2+\left(x-60\right)^2+\left(y-40\right)^2+58100\)
\(=3x^2-720x+3y^2-1080y+483300\)
\(=3\left(x-120\right)^2+3\left(y-180\right)^2+342900\ge342900\)
Đề bài này sai ở chỗ P có đơn vị là \(m^2\), nên ko thể đổi ra km được.
3.
Flycam chuyển động song song mặt đất nên chuyển động trên mp (P) có pt: \(z-4=0\)
Hình chiếu B của vị trí người điều khiển (gốc tọa độ) lên (P) là: \(B\left(0;0;4\right)\)
Gọi tọa độ ban đầu của flycam là A(1,2,4) \(\Rightarrow\overrightarrow{BA}=\left(1,2,0\right)\)
K/c từ người đó đến flycam nhỏ nhất khi flycam chuyển động qua điểm B, hay đường thẳng chuyển động của flycam là đường thẳng AB
\(\Rightarrow\overrightarrow{u}\) và \(\overrightarrow{BA}\) là 2 vecto cùng phương
\(\Rightarrow\overrightarrow{u}\left(1;2;0\right)\)
3.
Phương trình đường thẳng (d) chuyển động của cáp treo (đi qua A và có vtcp u):
\(\left\{{}\begin{matrix}x=8-3t\\y=1+4t\\z=2\end{matrix}\right.\)
Việc bây giờ là tìm hình chiếu vuông góc B của A lên (d) (khi đó AB là khoảng ngắn nhất)
Pt mặt phẳng (P) qua gốc tọa độ và vuông góc (d):
\(-3x+4y=0\)
Giao của (d) và (P) thỏa mãn:
\(-3\left(8-3t\right)+4\left(1+4t\right)=0\Rightarrow t=\dfrac{4}{5}\)
\(\Rightarrow B\left(\dfrac{28}{5};\dfrac{21}{5};2\right)\)
\(\Rightarrow t=\dfrac{AB}{v}=\dfrac{\sqrt{\left(\dfrac{28}{5}-8\right)^2+\left(\dfrac{21}{5}-1\right)^2+\left(2-2\right)^2}}{1,6}\)
4.
Lấy điểm M trên DH sao cho DM=AE
Ta có: \(2\left(AE+DH\right)=16\Rightarrow AE+DH=8\Rightarrow AE=8-DH\)
\(MH=DH-DM=DH-AE=2DH-8\)
\(\Rightarrow DH=\dfrac{MH+8}{2}\)
\(sin\widehat{HEM}=\dfrac{1}{\sqrt{101}}\Rightarrow\dfrac{MH}{EH}=\dfrac{1}{\sqrt{101}}\)
\(\Rightarrow101MH^2=EH^2=MH^2+AD^2\) (pitago)
\(\Rightarrow101MH^2=MH^2+10^2\)
\(\Rightarrow100MH^2=100\Rightarrow MH=1\)
\(\Rightarrow DH=\dfrac{MH+8}{2}=\dfrac{9}{2}\Rightarrow AE=8-DH=\dfrac{7}{2}\)
5.
Gọi \(A_i\) là biến cố: "5 con thỏ được chọn ra từ chuồng thứ i"
Coi như có 6 chuồng, trong đó có 3 chuồng I, 2 chuồng II, 1 chuồng III
Suy ra \(P\left(A_1\right)=\dfrac{3}{3+2+1}=\dfrac{1}{2};P\left(A_2\right)=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3};P\left(A_3\right)=\dfrac{1}{6}\)
B là biến cố: "trong 5 con thỏ được chọn ra có 3 con thỏ trắng"
Ta có: \(P\left(B|A_1\right)=\dfrac{C_{10}^3.C_5^2}{C_{15}^5}=...\)
\(P\left(B|A_2\right)=\dfrac{C_3^3.C_7^2}{C_{10}^5}=...\)
\(P\left(B|A_3\right)=\dfrac{C_6^3.C_6^2}{C_{12}^5}\)
Khi đó:
\(P\left(B\right)=P\left(B|A_1\right).P\left(A_1\right)+P\left(B|A_2\right).P\left(A_2\right)+P\left(B|A_3\right).P\left(A_3\right)=...\)
6.
Đặt hệ trục tọa độ với B là gốc tọa độ.
Phương trình đường tròn (B;AB) là:
\(x^2+y^2=6^2\Rightarrow y=\sqrt{36-x^2}\) (khai căn lấy dấu dương do nửa đường tròn nằm phía trên)
Đường tròn đường kính AB có tâm là trung điểm AB nên tọa độ tâm (0;3) và bán kính AB/2=3 nên có pt:
\(x^2+\left(y-3\right)^2=9\)
\(\Rightarrow y=\sqrt{9-x^2}+3\) (khai căn vẫn lấy dấu dương do phần đường cong AH nằm ở nửa trên đường tròn)
Đường tròn đường kính AD có tâm (3;6) bán kính AD/2=3 nên có pt:
\(\left(x-3\right)^2+\left(y-6\right)^2=9\)
\(\Rightarrow y=-\sqrt{9-\left(x-3\right)^2}+6\) (khai căn lấy dấu âm do đây là nửa dưới đường tròn)
Hoành độ H là nghiệm: \(\sqrt{9-x^2}+3=-\sqrt{9-\left(x-3\right)^2}+6\)
SOLVE được \(x_H=3\)
Hoành độ K là nghiệm:
\(\sqrt{36-x^2}=-\sqrt{9-\left(x-3\right)^2}+6\)
SOLVE được \(x_K=\dfrac{24}{5}\)
Do đó:
\(S=\int\limits^3_0\left|\sqrt{36-x^2}-\left(\sqrt{9-x^2}+3\right)\right|dx+\int\limits^{\dfrac{24}{5}}_3\left|\sqrt{36-x^2}-\left(-\sqrt{9-\left(x-3\right)^2}+6\right)\right|dx\)
