Một doanh nghiệp sản xuất đồ thủ công mỹ nghệ đang có kế hoạch thiết kế và sản xuất các hộp đựng trang sức dạng khối hộp chữ nhật không nắp từ một tấm kim loại hình chữ nhật có kích thước \(60cm \times 40cm\). Doanh nghiệp muốn cắt bỏ các hình vuông nhỏ có kích thước \(x (cm)\) ở mỗi góc của tấm kim loại và sau đó gấp phần còn lại lên để tạo thành khối hộp. Tìm \(x (cm)\) để thể tích (đơn vị \(cm^3\)) khối hộp lớn nhất, làm tròn kết quả đến hàng phần trăm.
1. Gọi biến và lập công thức thể tích
Tấm kim loại ban đầu có kích thước
60 cm × 40 cm
Cắt ở mỗi góc một hình vuông cạnh x (cm), rồi gấp lên tạo thành hộp không nắp.
Khi đó:
Chiều dài đáy hộp: 60 − 2x
Chiều rộng đáy hộp: 40 − 2x
Chiều cao hộp: x
Thể tích khối hộp là
V(x) = x(60 − 2x)(40 − 2x)
Điều kiện:
0 < x < 20
2. Rút gọn biểu thức thể tích
V(x) = x(60 − 2x)(40 − 2x)
= x(2400 − 200x + 4x²)
= 2400x − 200x² + 4x³
3. Tìm x để V lớn nhất
Lấy đạo hàm
V′(x) = 2400 − 400x + 12x²
Giải phương trình
V′(x) = 0
12x² − 400x + 2400 = 0
Chia cả hai vế cho 4:
3x² − 100x + 600 = 0
Δ = 100² − 4·3·600
= 10000 − 7200
= 2800
x = (100 − √2800) / 6
≈ (100 − 52,92) / 6
≈ 7,85
Giá trị còn lại không thỏa điều kiện.
4. Kết luận
Để thể tích khối hộp lớn nhất thì
x ≈ 7,85 cm (làm tròn đến hàng phần trăm)
