Question

Câu 17. Cho hình chóp \( S.ABCD \) có đáy \( ABCD \) là hình vuông cạnh \( a \), cạnh bên \( SA = a \) và vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi \( M, N \) lần lượt là trung điểm của \( SB \) và \( SD \) và \( G \) là trọng tâm của tam giác \( AMN \).

a) Tính tọa độ điểm \( G \).

b) Tính khoảng cách từ điểm \( G \) đến mặt phẳng \( (SBC) \).

c) Tính khoảng cách từ điểm \( C \) đến mặt phẳng \( (AMN) \).

Answer 1

a) Chọn hệ tọa độ \(Oxyz\) sao cho gốc \(O\) trùng với điểm \(A\), trục \(Ox\) trùng với cạnh \(AB\), trục \(Oy\) trùng với cạnh \(AD\) và trục \(Oz\) trùng với cạnh \(SA\)

\(A(0;0;0);B(a;0;0);C(a;a;0);D(0;a;0);S(0;0;a)\)

\(M\) là trung điểm \(SB\Rightarrow M\left(\dfrac{a+0}{2};\dfrac{0+0}{2};\dfrac{0+a}{2}\right)=\left(\dfrac{a}{2};0;\dfrac{a}{2}\right)\)

\(N\) là trung điểm \(SD\Rightarrow N\left(\dfrac{0+0}{2};\dfrac{a+0}{2};\dfrac{0+a}{2}\right)=\left(0;\dfrac{a}{2};\dfrac{a}{2}\right)\)

\(G\) là trọng tâm \(\Delta AMN\Rightarrow G\left(\dfrac{0+\dfrac{a}{2}+0}{3};\dfrac{0+0+\dfrac{a}{2}}{3};\dfrac{0+\dfrac{a}{2}+\dfrac{a}{2}}{3}\right)=\left(\dfrac{a}{6};\dfrac{a}{6};\dfrac{a}{3}\right)\)

b) \(\overrightarrow{SB}=\left(a;0;-a\right);\overrightarrow{SC}=\left(a;a;-a\right)\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{n\left(SBC\right)}=\left[\overrightarrow{SB}.\overrightarrow{SC}\right]=\left(a^2;0;a^2\right)=\left(1;0;1\right)\)

\(\Rightarrow\left(SBC\right):\left(x-0\right)+\left(z-a\right)=0\)

\(\Rightarrow\left(SBC\right):x+z-a=0\)

\(d\left(G;\left(SBC\right)=\dfrac{\left|\dfrac{a}{6}+\dfrac{a}{3}-a\right|}{\sqrt{1^2+1^2}}\right)=\dfrac{\dfrac{a}{2}}{\sqrt{2}}=\dfrac{a\sqrt{2}}{4}\)

c) \(\overrightarrow{AM}=\left(\dfrac{a}{2};0;\dfrac{a}{2}\right);\overrightarrow{AN}=\left(0;\dfrac{a}{2};\dfrac{a}{2}\right)\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{n\left(AMN\right)}=\left[\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{AN}\right]=\left(-\dfrac{a^2}{4};-\dfrac{a^2}{4};\dfrac{a^2}{4}\right)=\left(1;1;-1\right)\)

\(\Rightarrow\left(AMN\right):x+y-z=0\)

\(d\left(C;\left(AMN\right)\right)=\dfrac{\left|a+a-0\right|}{\sqrt{1^2+\left(-1\right)^2+\left(-1\right)^2}}=\dfrac{2a\sqrt{3}}{3}\)