1. a đúng chứ sao lại sai
d.
\(\overrightarrow{GI}=\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{AI}=-\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MI}\)
\(=-\overrightarrow{AG}+\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{MN}\)
\(=-\dfrac{1}{3}\left(b+c+d\right)+\dfrac{1}{2}\left(b+c\right)+\dfrac{1}{4}\left(d-b-c\right)\)
\(=-\dfrac{1}{12}\left(b+c+d\right)\)
Thực chất câu này có thể chọn sai ngay lập tức mà ko cần suy nghĩ
Vì theo câu c (đúng), A, I, G thẳng hàng
Do đó \(\overrightarrow{GI}=k.\overrightarrow{GA}=\dfrac{k}{3}\left(b+c+d\right)\)
Tức \(\overrightarrow{GI}\) phải có dạng \(...\left(b+c+d\right)\) chứ ko thể có dạng \(...\left(b-c-d\right)\)
2d. Đúng
Gọi G là trọng tâm tam giác BCD.
Do ABCD là tứ diện đều \(\Rightarrow AG=\dfrac{\sqrt{6}}{3}\)
Theo t/c trọng tâm: \(\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{PD}=3\overrightarrow{PG}\)
\(\Rightarrow Q=3\overrightarrow{PA}.\overrightarrow{PG}\ge-3.\left(\dfrac{AG}{2}\right)^2=-\dfrac{1}{2}\)
Bài trên sử dụng tính chất sau:
Cho 2 điểm AB cố định và 1 điểm M bất kì. Khi đó ta có \(\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}\ge-\left(\dfrac{AB}{2}\right)^2\)
Chứng minh:
Giả sử \(AB=a\), đặt hệ trục tọa độ sao cho A trùng gốc O, \(B\left(a;0\right)\)
M là điểm bất kì có tọa độ \(M\left(x;y\right)\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{MA}=\left(-x;-y\right)\\\overrightarrow{MB}=\left(a-x;-y\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=x\left(x-a\right)+y^2=x^2-ax+y^2=\left(x-\dfrac{a}{2}\right)^2+y^2-\dfrac{a^2}{4}\ge-\dfrac{a^2}{4}=-\left(\dfrac{AB}{2}\right)^2\)
3.
\(AB^2+AC^2+AD^2+BC^2+BD^2+CD^2=6a^2\)
Tứ diện ABCD đều nên trọng tâm G trùng tâm đường tròn ngoại tiếp
\(\Rightarrow GA=GB=GC=GD=R=\dfrac{a\sqrt{6}}{4}\)
\(\Rightarrow4\left(GA^2+GB^2+GC^2+GD^2\right)=\dfrac{3a^2}{2}\)
Do đó câu này sai
4d.
\(BM=\sqrt{AB^2+AM^2}=\sqrt{a^2+\left(\dfrac{a}{2}\right)^2}=\dfrac{a\sqrt{5}}{2}\)
\(MN=\sqrt{BM^2+BN^2}=\sqrt{\left(\dfrac{a\sqrt{5}}{2}\right)^2+\left(\dfrac{a}{2}\right)^2}=\dfrac{a\sqrt{6}}{2}\)
