a.
Tứ diện ABCD đều nên \(AO\perp\left(BCD\right)\)
O là trọng tâm tam giác BCD nên \(O\in BM\)
Tam giác BCD đều (do tứ diện đều) nên \(BM=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\) (trung tuyến tam giác đều cạnh a)
Đồng thời \(BO=\dfrac{2}{3}BM=\dfrac{2}{3}.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}\)
\(\Rightarrow\left|\overrightarrow{OA}\right|=OA=\sqrt{AB^2-BO^2}=\dfrac{a\sqrt{6}}{3}\)
b.
\(OM=\dfrac{1}{3}BM=\dfrac{1}{3}.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}=\dfrac{a\sqrt{3}}{6}\)
Đặt \(T=\left|\overrightarrow{OA}-2\overrightarrow{OM}\right|\Rightarrow T^2=OA^2+4OM^2-4\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OM}\)
Do \(OA\perp\left(BCD\right)\Rightarrow\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OM}=0\)
\(\Rightarrow T^2=OA^2+4OM^2=a^2\)
\(\Rightarrow T=\left|\overrightarrow{OA}-2\overrightarrow{OM}\right|=a\)
c.
Do M là trung điểm CD \(\Rightarrow\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{AM}\)
\(\Rightarrow B=\left|2\overrightarrow{MO}-\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AD}\right|=\left|2\overrightarrow{MO}-2\overrightarrow{AM}\right|=2\left|\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{MA}\right|\)
\(=2\left|\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OA}\right|=\left|4\overrightarrow{MO}+2\overrightarrow{OA}\right|\)
\(\Rightarrow B^2=16MO^2+4OA^2+16\overrightarrow{MO}.\overrightarrow{OA}\)
\(=16MO^2+4OA^2=4a^2\)
\(\Rightarrow B=\left|2\overrightarrow{MO}-\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AD}\right|=2a\)
