18.
\(y=\dfrac{x^2+x-2+1}{x+2}=\dfrac{\left(x-1\right)\left(x+2\right)+1}{x+2}=x-1+\dfrac{1}{x+2}\)
\(\Rightarrow y=x-1\) là tiệm cận xiên
Tiếp tuyến vuông góc tiệm cận xiên khi có hệ số góc k thỏa mãn
\(k.1=-1\Rightarrow k=-1\)
Gọi x là hoành độ tiếp điểm
\(\Rightarrow y'\left(x\right)=-1\Leftrightarrow1-\dfrac{1}{\left(x+2\right)^2}=-1\)
\(\Rightarrow\left(x+2\right)^2=\dfrac{1}{2}\)
Tới đây ko cần tính tiếp, có thể kết luận ngay pt nói trên có 2 nghiệm
Nên suy ra có 2 tiếp tuyến thỏa mãn
19.
Đồ thị hàm có 2 tiệm cận: đứng \(x=2\) và ngang \(y=2\), tâm đối xứng \(I\left(2;2\right)\)
Quay lại bài toán này (dưới cmt câu 1, làm biếng thiết lập lại công thức):
Khi đó tiếp tuyến tại M cắt 2 tiệm cận tại A và B thì ta luôn có:
\(IA.IB=\dfrac{4\left|ad-bc\right|}{c^2}=4\) ko phụ thuộc vị trí M
Theo Pitago:
\(AB^2=IA^2+IB^2\ge2IA.IB=8\)
Dấu "=" xảy ra khi \(IA=IB\)
Hay M là giao của (C) với đường thẳng d có hệ số góc 1, đi qua I
Phương trình d: \(y=1.\left(x-2\right)+2=x\)
Hoành độ giao điểm: \(\dfrac{2x-3}{x-2}=x\Rightarrow2x-3=x^2-2x\)
\(\Rightarrow x^2-4x+3=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\left(loại\right)\\x=3\Rightarrow y=3\end{matrix}\right.\)
Tổng là 6
