Gọi I là giao điểm 2 tiệm cận \(\Rightarrow I\left(1;1\right)\)
\(y'=\dfrac{-4}{\left(x-1\right)^2}\)
Gọi \(M\left(m;\dfrac{m+3}{m-1}\right)\)
Tiếp tuyến d qua M có dạng: \(y=\dfrac{-4}{\left(m-1\right)^2}\left(x-m\right)+\dfrac{m+3}{m-1}\)
A là giao của d với TCĐ \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=\dfrac{-4}{\left(m-1\right)^2}\left(x-m\right)+\dfrac{m+3}{m-1}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow A\left(1;\dfrac{m+7}{m-1}\right)\)
B là giao của d với TCN \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=1\\y=\dfrac{-4}{\left(m-1\right)^2}\left(x-m\right)+\dfrac{m+3}{m-1}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow B\left(2m-1;1\right)\)
\(\Rightarrow IA=\left|\dfrac{8}{m-1}\right|\) ; \(IB=\left|2\left(m-1\right)\right|\)
\(\Rightarrow IA.IB=16\)
(Thực tế thì: với hàm \(y=\dfrac{ax+b}{cx+d}\) thì tiếp tuyến tại M bất kì thuộc ĐTHS cắt 2 tiệm cận tại A, B ta luôn có: \(IA.IB=\dfrac{4\left|ad-bc\right|}{c^2}\). Tích này ko phụ thuộc vào vị trí điểm M)
Do đó:
\(IA+IB+AB=IA+IB+\sqrt{IA^2+IB^2}\)
\(\ge2\sqrt{IA.IB}+\sqrt{2IA.IB}=2\sqrt{16}+\sqrt{2.16}=8+4\sqrt{2}\)
\(a+b+c=14\)
