a) \(y'=x^2+2\left(m+1\right)x+m^2+2m\)
\(y'=0\Leftrightarrow x^2+2\left(m+1\right)x+m^2+2m=0\left(1\right)\)
Để hs có 2 điểm cực trị khi
\(\Delta'=\left(m+1\right)^2-m^2-2m=1>0,\forall m\)
Nên câu a đúng
b) \(y'=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x_1=-2m-1+1=-2m\\x_2=-2m-1-1=-2m-2\end{matrix}\right.\)
Lập bảng biến thiên hám số sẽ nghịch biến trên \(x\in\left(-2m-2;-2m\right)\)
\(\Rightarrow\) độ dài khoảng này là \(\left|-2m+2m+2\right|=2\)
Nên câu b đúng
c) Hàm luôn đồng biến trên \(x< x_1\cup x>x_2,\forall m\) và nghịch biến trên \(x_1< x< x_2\)
Nên câu c đúng
d) Hs nghịch biến trên \(\left(-1;1\right)\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-2m-2\ge-1\\-2m\le1\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\le-\dfrac{1}{2}\\m\ge-\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow m=-\dfrac{1}{2}\ge-1\)
Nên câu d đúng
