Chắc đề ghi sai, vì đồ thị \(f'\left(x\right)\) này là bậc 3 (có 2 cực trị) nên hàm \(y=f\left(x\right)\) phải là bậc 4 chứ ko phải bậc 3.
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}1-m^2=a\\-x^2+2mx+1-3m^2=b\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow x^2-2mx+2m^2=a-b\)
Do m nguyên và \(m>1\Rightarrow m\ge2\Rightarrow1-m^2\le1-2^2< 0\)
Hay \(a< 0\)
Đồng thời \(b=-\left(x-m\right)^2+\left(1-m^2\right)-m^2< 0\) hiển nhiên rồi, với \(m\ge2\)
BPT trở thành:
\(f\left(a\right)-f\left(b\right)< a-b\Leftrightarrow f\left(a\right)-a< f\left(b\right)-b\) (1)
Xét hàm \(y=f\left(t\right)-t\) với \(t< 0\)
\(y'=f'\left(t\right)-1\)
Để ý trên đồ thị rằng khi \(t< 0< 1\Rightarrow f'\left(t\right)\) đồng biến \(\Rightarrow f'\left(t\right)-1< f'\left(1\right)-1=0\)
\(\Rightarrow y=f\left(t\right)-t\) nghịch biến (2)
(1);(2) \(\Rightarrow a>b\)
\(\Rightarrow1-m^2>-x^2+2mx+1-3m^2\)
\(\Rightarrow x^2-2mx+2m^2>0\) có nghiệm
\(\Rightarrow\left(x-m\right)^2+m^2>0\) (luôn đúng với m>1)
Vậy có \(2020-2+1=2019\) giá trị nguyên của m
