Lời giải:
$\log_2(5^x-1)=m$
$\Leftrightarrow 5^x-1=2^m$
$\Leftrightarrow x=\log_5(2^m+1)$
Để $x\geq 1$
$\Leftrightarrow \log_5(2^m+1)\geq 1$
$\Leftrightarrow 2^m+1\geq 5$
$\Leftrightarrow 2^m\geq 4$
$\Leftrightarrow m\geq 2$
Mà $m\in\mathbb{Z}$ và $m\in [0;5]$ nên $m\in\left\{2; 3;4; 5\right\}$
Tổng các giá trị của $m$: $2+3+4+5=14$