Đường tròn \(\left(C_1\right)\) có tâm \(I_1\left(4;5\right)\) bán kính \(R=1\)
Đường tròn \(\left(C_2\right)\) có tâm \(I_2\left(1;0\right)\) bán kính \(R=1\)
Qua \(I_2\) kẻ đường thẳng d vuông góc \(\Delta\) cắt \(\Delta\) tại B
Phương trình (d) có dạng:
\(1\left(x-1\right)+1\left(y-0\right)=0\Leftrightarrow x+y-1=0\)
Tọa độ B là nghiệm: \(\left\{{}\begin{matrix}x+y-1=0\\x-y-4=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{5}{2}\\y=-\dfrac{3}{2}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow B\left(\dfrac{5}{2};-\dfrac{3}{2}\right)\)
Gọi I là điểm đối xứng \(I_2\) qua B \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_I=2x_B-x_{I_2}=4\\y_I=2y_B-y_{I_2}=-3\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow I\left(4;-3\right)\)
Phương trình đường tròn (C) đối xứng \(\left(C_2\right)\) qua \(\Delta\) nhận I là tâm và bán kính \(R=1\) nên có dạng:
\(\left(x-4\right)^2+\left(y+3\right)^2=1\)
\(I_1\left(4;5\right)\) ; \(I_2\left(4;-3\right)\Rightarrow\) phương trình \(I_2I\) có dạng: \(x=4\)
Tọa độ giao điểm \(I_2I\) lần lượt với \(\left(C_1\right);\left(C_2\right)\) là \(D\left(4;4\right);E\left(4;-2\right)\) (D, E nằm giữa \(I;I_2\))
\(DE=\sqrt{\left(4-4\right)^2+\left(4+2\right)^2}=6\)
Gọi N' là điểm đối xứng của N qua \(\Delta\Rightarrow N'\in\left(C\right)\) đồng thời \(AN=AN'\)
\(\Rightarrow AM+AN=AM+AN'\ge MN'\ge DE=6\)
