1.
\(\left\{{}\begin{matrix}z'_x=-6x^2+18-6y=0\\z'_y=6-6y-6x\end{matrix}\right.\)
(Trừ vế cho vế để được pt bậc 2 theo x và bấm máy)
Ta được các điểm dừng: \(\left(-1;2\right)\) và \(\left(2;-1\right)\)
\(z''_{xx}=-12x\)
\(z''_{xy}=-6\)
\(z''_{yy}=-6\)
Tại \(\left(-1;2\right)\): \(A=12\) ; \(B=-6\) ; \(C=-6\) \(\Rightarrow B^2-AC>0\) hàm không đạt cực trị tại đây
Tại \(\left(2;-1\right)\) : \(A=-24\) ; \(B=-6\) ; \(C=-6\Rightarrow B^2-AC< 0\) đồng thời \(A< 0\Rightarrow\) hàm đạt cực đại tại \(\left(2;-1\right)\)
2.
\(I=\int\limits^2_0dy\int\limits^4_1\left(3xy^2-2xy\right)dx=\int\limits^2_0\left(\left(\dfrac{3}{2}x^2y^2-x^2y\right)|^4_1\right)dy\)
\(=\int\limits^2_0\left(\dfrac{45}{2}y^2-15y\right)dy=\left(\dfrac{15}{2}y^3-\dfrac{15}{2}y^2\right)|^2_0=30\)
Hoặc là:
\(I=\int\limits^4_1dx\int\limits^2_0\left(3xy^2-2xy\right)dy=\int\limits^4_1\left(\left(xy^3-xy^2\right)|^2_0\right)dx\)
\(=\int\limits^4_14xdx=30\)
