Theo đề bài \(x+y+z=3\)

\(\rArr3x+yz=x\left(x+y+z\right)=\left(x+y\right)\left(x+z\right)\)

Tương tự \(3y+zx=\left(y+z\right)\left(x+y\right);3z+xy=\left(z+x\right)\left(y+z\right)\)

Thay vào P và dùng bất đẳng thức AM-GM ta được :

\(P\ge\frac{2}{\sqrt3}.3\sqrt[3]{\sqrt{x}.\sqrt{y}.\sqrt{z}.\left(\frac{y}{z}.\frac{z}{x}.\frac{x}{y}\frac{}{}\right)^{\frac14}}=2\sqrt3\)

Dấu "=" xảy ra khi : \(x=y=z=1\)

\(\rArr P\ge3\sqrt2\)

Vi \(3\sqrt2>2\sqrt3\) nên theo nguyên lý tính đối xứng ta lấy \(x=y=z=1\)

Vậy \(P\left(\min\right)=3\sqrt2\)

\(AB=\sqrt{\left(4-2\right)^2+\left(1+1^2\right)+\left(3-1\right)^2}=2\sqrt3\)

\(R=\frac{AB}{2}=\frac{2\sqrt3}{2}=\sqrt3\)

Tâm \(I\) là trung điểm \(AB\) nên \(I\left(\frac{2+4}{2};\frac{-1+1}{2};\frac{1+3}{2}\right)=\left(3;0;2\right)\)

\(d\left(I;P\right)=\frac{\left\vert2.3+2.0+1.2+1\right\vert}{\sqrt{2^2+2^2+1^2}}=3\) không bằng \(R\)

Vậy \(\left(P\right)\) không tiếp xúc với mặt cầu đường kính \(AB\)

\(A:B=5x^3+x^2-3x-4+\frac{6}{2x-3}\)

Để \(A\) chia hết \(B\) khi \(2x-3\in U\left(6\right)=\left\lbrace\pm1;\pm2;\pm3;\pm6\right\rbrace\)

\(\rArr x\in\left\lbrace0;1;2;3\right\rbrace\) thỏa đề bài

3b) \(2c=8\left(m\right)\Rightarrow c=4\left(m\right)\)

\(2a=10\left(m\right)\Rightarrow a=5\left(m\right)\)

\(a^2=b^2+c^2\Rightarrow b=\sqrt{a^2-c^2}=\sqrt{25-16}=3\left(m\right)\)

\(\Rightarrow\left(E\right):\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{9}=1\)

Điểm cách tâm đường hầm \(x=2\left(m\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{2^2}{25}+\dfrac{y^2}{9}=1\Rightarrow y^2=9\left(1-\dfrac{4}{25}\right)\Rightarrow h=y=\dfrac{3\sqrt{21}}{5}=\dfrac{a\sqrt{b}}{c}\)

\(\Rightarrow a=3;b=21;c=5\)

\(T=a+b+2c=3+21+2.5=34\)

Gọi \(a>0\left(m\right)\) là chiều dài mảnh đất HCN

Chiều rộng mảnh đất HCN \(b=\dfrac{726}{a}\left(m\right)\)

Chiều dài mảnh đất HCN làm trang trại \(a-2.1,5=a-3\left(m\right)\)

Chiều rộng mảnh đất HCN làm trang trại \(\dfrac{726}{a}-2\left(m\right)\)

Diện tích trang trại \(S\left(x\right)=\left(a-3\right)\left(\dfrac{726}{a}-2\right)\left(m^2\right)\)

\(\Rightarrow S\left(x\right)=732-\left(2a+\dfrac{2178}{a}\right)\le732-2\sqrt{2a.\dfrac{2178}{a}}=600\left(m^2\right)\left(Bđt.Cauchy\right)\)

Dấu '=' xảy ra khi và chỉ khi \(2a=\dfrac{2178}{a}\Rightarrow a=33\left(m\right)\)

\(\Rightarrow b=\dfrac{726}{33}=22\left(m\right)\)

Vậy, để diện tích phần trang trại còn lại là lớn nhất, bác Minh nên chọn mảnh đất có kích thước \(33mx22m\). Diện tích phần trang trại còn lại lớn nhất là \(600\left(m^2\right)\)

Câu 1 :

a) \(n\left(\Omega\right)=C^3_{18}=\dfrac{18!}{15!.3!}=\dfrac{18.17.16}{3.2.1}=816\RightarrowĐúng\)

b) \(n\left(3Đ\right)=C^3_6=\dfrac{6!}{3!.3!}=\dfrac{6.5.4}{3.2.1}=20\)

\(P\left(3Đ\right)=\dfrac{n\left(3Đ\right)}{n\left(\Omega\right)}=\dfrac{20}{816}=\dfrac{5}{204}\ne\dfrac{1}{272}\Rightarrow Sai\)

c) \(n\left(3M\right)=C^1_5.C^1_6.C^1_7=5.6.7=210\)

\(P\left(3M\right)=\dfrac{n\left(3M\right)}{n\left(\Omega\right)}=\dfrac{210}{816}=\dfrac{35}{136}\RightarrowĐúng\)

d) \(n\left(\overline{D}\right)=C^3_5=\dfrac{5!}{2!.3!}=\dfrac{5.4}{2.1}=10\)

\(\Rightarrow n\left(D\right)=816-10=808\)

\(P\left(D\right)=\dfrac{n\left(D\right)}{n\left(\Omega\right)}=\dfrac{806}{816}=\dfrac{403}{408}\RightarrowĐúng\)

Câu 8 : \(a=\dfrac{1}{2x};b=-2x;n=5\)

Hệ số chứa \(x^k\) là \(C^k_5.\left(\dfrac{1}{2x}\right)^{5-k}.\left(-2\right)^k.x^k=C^k_5.\left(\dfrac{1}{2}\right)^{5-k}.\left(-2\right)^k.x^{2k-5}\)

\(2k-5=5\Rightarrow k=5\Rightarrow\) Hệ số chứa \(x^5\) là \(C^5_5.\left(\dfrac{1}{2}\right)^{5-5}.\left(-2\right)^5=-32\)

\(2k-5=-5\Rightarrow k=0\Rightarrow\) Hệ số chứa \(\dfrac{1}{x^5}=x^{-5}\) là \(C^0_5.\left(\dfrac{1}{2}\right)^{5-0}.\left(-2\right)^0=\dfrac{1}{32}\)

\(\Rightarrow\) Tích hệ số của \(x^5\&\dfrac{1}{x^5}\) lầ \(-32.\dfrac{1}{32}=-1\Rightarrow Chọn.B\)

3) Sửa lại đề bài \(\dfrac{x^2}{a}+\dfrac{y^2}{b}+\dfrac{z^2}{c}\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{a+b+c}\)

Áp dụng Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz :

\(\left(\dfrac{x}{\sqrt{a}}.\sqrt{a}+\dfrac{y}{\sqrt{b}}.\sqrt{b}+\dfrac{z}{\sqrt{c}}.\sqrt{c}\right)^2\le\left(\dfrac{x^2}{a}+\dfrac{y^2}{b}+\dfrac{z^2}{c}\right).\left(a+b+c\right)\)

\(\Rightarrow\left(x+y+z\right)^2\le\left(\dfrac{x^2}{a}+\dfrac{y^2}{b}+\dfrac{z^2}{c}\right).\left(a+b+c\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{x^2}{a}+\dfrac{y^2}{b}+\dfrac{z^2}{c}\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{a+b+c}\left(đpcm\right)\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(\dfrac{x}{a}=\dfrac{y}{b}=\dfrac{z}{c}\)

2) \(A=5x^2+2y^2+4xy-2x+4y+2015\)

\(\Rightarrow A=\left(4x^2+4xy+y^2\right)+\left(x^2-2x+1\right)+\left(y^2+4y+4\right)+2010\)

\(\Rightarrow A=\left(2x+y\right)^2+\left(x-1\right)^2+\left(y+2\right)^2+2010\ge2010\)

Dấu "=' xảy ra khi và chỉ khi

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x+y=0\\x-1=0\\y+2=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=-2\end{matrix}\right.\)

Vậy \(A\left(min\right)=2010\) tại \(\left(x;y\right)=\left(1;-2\right)\)

1) \(x^2+xy-2022x-2023y-2024=0\)

\(\Leftrightarrow y\left(x-2023\right)=-x^2+2022x+2024\)

\(\Leftrightarrow y=\dfrac{-x^2+2022x+2024}{x-2023}=\dfrac{\left(-x^2+2023x\right)-x+2023+1}{x-2023}\)

\(\Leftrightarrow y=\dfrac{-x\left(x-2023\right)-\left(x-2023\right)+1}{x-2023}=\dfrac{\left(x-2023\right)\left(-x-1\right)+1}{x-2023}\)

\(\Leftrightarrow y=-x-1+\dfrac{1}{x-2023}\in Z\)

\(\Leftrightarrow x-2023\in U\left(1\right)=\left\{-1;1\right\}\)

\(\Leftrightarrow x\in\left\{2022;2024\right\}\)

\(\Rightarrow\left(x;y\right)\in\left\{\left(2022;-2024\right);\left(2024;-2024\right)\right\}\)