Với mọi \(n\ge2\)

\(\frac{1}{\sqrt{n}}=\frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n}}>\frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}=\frac{2\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)}{\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\right)}\)

                        \(=2\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)\) (1)

Lại có : \(\frac{1}{\sqrt{n}}=\frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n}}< \frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}=\frac{2\left(\sqrt{n}-\sqrt{n-1}\right)}{\left(\sqrt{n}+\sqrt{n-1}\right)\left(\sqrt{n}-\sqrt{n-1}\right)}\)

                                     \(=2\left(\sqrt{n}-\sqrt{n-1}\right)\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(2\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)< \frac{1}{\sqrt{n}}< 2\left(\sqrt{n}-\sqrt{n-1}\right)\)

Áp dụng với n = 2,3,4,...,100 được đpcm.

Với mọi \(n\ge2\)

\(\frac{1}{\sqrt{n}}=\frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n}}>\frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}=\frac{2\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)}{\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\right)}\)

                        \(=2\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)\) (1)

Lại có : \(\frac{1}{\sqrt{n}}=\frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n}}< \frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}=\frac{2\left(\sqrt{n}-\sqrt{n-1}\right)}{\left(\sqrt{n}+\sqrt{n-1}\right)\left(\sqrt{n}-\sqrt{n-1}\right)}\)

                                     \(=2\left(\sqrt{n}-\sqrt{n-1}\right)\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra đpcm

1/ Trước hết ta chứng minh \(\frac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}}=\frac{\sqrt{n}}{n\left(n+1\right)}=\sqrt{n}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)=\sqrt{n}\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\left(\frac{1}{\sqrt{n}}+\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\)

\(=\left(1+\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}}\right)\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)< 2\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\)

Áp dụng : 

\(\frac{1}{2\sqrt{1}}+\frac{1}{3\sqrt{2}}+...+\frac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}}< 2\left(\frac{1}{\sqrt{1}}-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\)

                                            \(=2\left(1-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)=2-\frac{2}{\sqrt{n+1}}< 2\) (đpcm)

Bài 2. 

Áp dụng định lí Pytago ta có : 

\(AM^2=AF^2+FM^2=AE^2+ME^2\)

\(BM^2=BD^2+MD^2=MF^2+BF^2\)

\(MC^2=ME^2+EC^2=MD^2+DC^2\)

\(\Rightarrow AF^2+FM^2+BD^2+MD^2+ME^2+EC^2=AE^2+ME^2+MF^2+BF^2+MD^2+DC^2\)

\(\Rightarrow BD^2+CE^2+AF^2=DC^2+EA^2+FB^2\)

Ta có : \(\begin{cases}BD\text{//}MH\text{//}EC\\BM=MC\end{cases}\) => MH là đường trung bình của hình thang BDEC

=> \(MH=\frac{1}{2}\left(BD+CE\right)\) => BD + CE = 2MH

Mặt khác lại có : \(\begin{cases}GI\text{//}MH\\AG=\frac{2}{3}AM\end{cases}\) => \(MH=\frac{3}{2}GI\Rightarrow2MH=3GI\) 

hay \(BD+CE=3GI\)

\(A=2x^2-6x=2\left(x^2-3x\right)=2\left(x^2-3x+\frac{9}{4}\right)-\frac{9}{2}\)

\(=2\left(x-\frac{3}{2}\right)^2-\frac{9}{2}\ge-\frac{9}{2}\)

Suy ra Min A = -9/2 <=> x = 3/2

ABOUT

\(\sqrt{8-3\sqrt{7}}-\sqrt{8+3\sqrt{7}}=\frac{\sqrt{16-6\sqrt{7}}-\sqrt{16+6\sqrt{7}}}{\sqrt{2}}\)

\(=\frac{\sqrt{\left(\sqrt{7}-3\right)^2}-\sqrt{\left(\sqrt{7}+3\right)^2}}{\sqrt{2}}=\frac{3-\sqrt{7}-\left(\sqrt{7}+3\right)}{\sqrt{2}}\)

\(=\frac{-2\sqrt{7}}{\sqrt{2}}=-\sqrt{14}\)

Xet 2000 so 1 ; 11;111;1111;....;11111...1   [2000so1].

trong 200 so do se co hai so chia 1999 co cung so du theo nguyen li direchlet

Chia làm hai trường hợp : 

TH1. Nếu x = y = z = 0 thì thỏa mãn đề bài.

TH2. Nếu \(x,y,z\ne0\) thì ta có : \(x=\sqrt{7}y-\sqrt{5}x\) . 

Dễ dàng chứng minh được \(\sqrt{5}\) và \(\sqrt{7}\) là các số vô tỉ . Mặt khác vì \(x,y,z\ne0\) nên \(\sqrt{7}y-\sqrt{5}x\) là số vô tỉ (Vô lí vì x là số hữu tỉ)

Vậy trường hợp này không xảy ra.

Vậy x = y = z = 0