Để C là một số nguyên thì \(m^2+m+1\) là bình phương của một số tự nhiên.

Đặt \(m^2+m+1=k^2\left(k\in N\text{*}\right)\)

\(\Leftrightarrow m^2+m+1-k^2=0\) . Xét \(\Delta=1-4\left(1-k^2\right)=4k^2-3\) 

Vì m là số nguyên nên \(4k^2-3\) là bình phương của một số nguyên lẻ.

Lại đặt \(4k^2-3=\left(2p+1\right)^2\Leftrightarrow\left(2k-2p-1\right)\left(2k+2p+1\right)=3=1.3=\left(-1\right).\left(-3\right)=...\)

Xét các trường hợp được k = 1 thỏa mãn .

Vậy \(m^2+m+1=1\Leftrightarrow m\left(m+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}m=0\\m=-1\end{array}\right.\)

Dễ thấy vai trò của a,b,c là bình đẳng.

Ta có : \(a^2+b^2+c^2=1\) \(\Rightarrow\begin{cases}a\le1\\b\le1\\c\le1\end{cases}\)

Lại có : \(a^2+b^2+c^2=a^3+b^3+c^3\Leftrightarrow a^2\left(1-a\right)+b^2\left(1-b\right)+c^2\left(1-c\right)=0\)

Mặt khác : \(\begin{cases}a^2\left(1-a\right)\ge0\\b^2\left(1-b\right)\ge0\\c^2\left(1-c\right)\ge0\end{cases}\)

Suy ra dấu "=" chỉ xảy ra khi \(\begin{cases}a^2\left(1-a\right)=0\\b^2\left(1-b\right)=0\\c^2\left(1-c\right)=0\end{cases}\)

=> (a;b;c) = (0;0;1) và các hoán vị (vì vai trò của a,b,c bình đẳng)

Từ đó thay vào được điều phải chứng minh đúng.

Ta có : 

\(\frac{x}{x+y+z}+\frac{y}{x+y+z}+\frac{z}{x+y+z}=\frac{x+y+z}{x+y+z}=1\)

=> Không xảy ra trường hợp \(\frac{x}{x+y+z}+\frac{y}{x+y+z}+\frac{z}{x+y+z}>1\) với mọi x,y,z

Vậy không tồn tại giá trị nào của x,y,z thỏa mãn đề bài.

Ta có : \(P=\frac{20}{x^2+y^2}+\frac{11}{xy}=20\left(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}\right)+\frac{1}{xy}\)

Áp dụng bđt \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\) được \(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}\ge\frac{4}{x^2+y^2+2xy}=\frac{4}{\left(x+y\right)^2}\ge\frac{4}{2^2}=1\)

Lại có : \(\frac{1}{xy}\ge\frac{4}{\left(x+y\right)^2}\ge\frac{4}{2^2}=1\)

Suy ra : \(P\ge20+1=21\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(\begin{cases}x,y>0\\x+y=2\\x=y\\x^2+y^2=2xy\end{cases}\) \(\Leftrightarrow x=y=1\)

Vậy MIN P = 21 <=> x = y = 1

Kéo dài đoạn BM , lấy  thuộc BM sao cho MC' = MG

=> ADCG là hình bình hành

=> GB = 2GM = GC'

Ta có : \(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}=\overrightarrow{GC'}=\overrightarrow{CG}\) (quy tắc hình bình hành)

\(\Rightarrow\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{CG}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{CC}=\overrightarrow{0}\)

a/ \(x^2+xy+y^2+1=\left(x^2+xy+\frac{y^2}{4}\right)+\frac{3}{4}y^2+1=\left(x+\frac{y}{2}\right)^2+\frac{3y^2}{4}+1\ge1>0\)

với mọi x,y

b/ \(x^2+5y^2+2x-4xy-16y+14=x^2-2x\left(2y-1\right)+\left(4y^2-4y+1\right)+\left(y^2-12y+36\right)-23\)

\(=\left(x-2y+1\right)^2+\left(y-6\right)^2-23\ge-23\)

Bạn xem lại đề

Ta có \(1^2+2^2+3^2+...+49^2=\frac{49\left(49+1\right)\left(2.49+1\right)}{6}=40425\)

\(\Rightarrow40425\left(2-x\right)=-1\frac{1}{5}\Rightarrow2-x=-\frac{2}{67375}\Rightarrow x=\frac{134752}{67375}\)