Gọi CTHH của oxit sắt là Fe_xO_y

Ta có : 56x+16y = 160

Vì mFe chiếm 70% nên : \(\frac{56x}{56x+16y}=\frac{70}{100}\Leftrightarrow5600x=3920x+1120y\Leftrightarrow1680x=1120y\)

\(\Rightarrow\frac{x}{y}=\frac{2}{3}\)

=> x = 2, y = 3

Vậy CTHH của Oxit sắt là Fe₂O₃

Ta có : \(\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{c}}=1\Leftrightarrow\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}=\sqrt{abc}\)

Do đó : \(ab+bc+ac\ge\frac{abc}{3}\)

\(\Leftrightarrow3\left(ab+bc+ac\right)\ge\left(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}\right)^2\)

\(\Leftrightarrow2\left(ab+bc+ca\right)\ge2\left(\sqrt{a^2bc}+\sqrt{b^2ac}+\sqrt{c^2ab}\right)\)

\(\Leftrightarrow a\left(\sqrt{b}-\sqrt{c}\right)^2+b\left(\sqrt{c}-\sqrt{a}\right)^2+c\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\ge0\) (luôn đúng)

Vậy bđt ban đầu được chứng minh

5/ There is not much water for fish

6/ There are some animals to see at the zoo

Ta có : \(a^2\left(1+b^2\right)+b^2\left(1+c^2\right)+c^2\left(1+a^2\right)\ge6abc\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2-2abc+b^2c^2\right)+\left(b^2-2abc+a^2c^2\right)+\left(c^2-2abc+a^2b^2\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-bc\right)^2+\left(b-ac\right)^2+\left(c-ab\right)^2\ge0\) (luôn đúng)

Vì bđt cuối luôn đúng nên bđt ban đầu được chứng minh

Ta có : \(\frac{a^2}{3}+b^2+c^2>ab+bc+ac\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{a^2}{4}-a\left(b+c\right)+\left(b+c\right)^2\right)+\frac{a^2}{12}-3bc>0\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{a}{2}-b-c\right)^2+\frac{a^2}{12}-\frac{3}{a}>0\) (vì abc = 1)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{a}{2}-b-c\right)^2+\frac{a^3-36}{12a}>0\) 

Vì \(a>\sqrt[3]{36}>0\) nên bđt cuối luôn đúng

Suy ra bđt ban đầu được chứng minh 

Điều kiện xác định : \(7\le x\le9\)

Áp dụng bđt Bunhiacopxki vào vế trái : 

\(\left(1.\sqrt{x-7}+1.\sqrt{9-x}\right)^2\le\left(1^2+1^2\right)\left(x-7+9-x\right)=4\)

\(\Rightarrow\sqrt{x-7}+\sqrt{9-x}\le2\)

Xét vế phải : \(x^2-16x+66=\left(x^2-16x+64\right)+2=\left(x-8\right)^2+2\ge2\)

Suy ra pt tương đương với \(\begin{cases}\sqrt{x-7}+\sqrt{9-x}=2\\x^2-16x+66=2\end{cases}\) <=> x = 8

Vậy pt có nghiệm x = 8

\(n_{Ca\left(OH\right)_2}=0,5.0,2=0,1\left(mol\right)\)

PTHH : CO₂ + Ca(OH)₂ -----> CaCO₃ + H₂O

=> \(n_{CaCO_3}=\frac{2,5}{100}=0,025\left(mol\right)\)

Ta có \(\frac{n_{Ca\left(OH\right)_2}\left(\text{bài ra}\right)}{n_{Ca\left(OH\right)_2}\left(\text{phương trình}\right)}=\frac{0,1}{1}>\frac{n_{CaCO_3}\left(\text{bài ra}\right)}{n_{CaCO_3}\left(\text{phương trình}\right)}=\frac{0,025}{1}\)

=> CaCO₃ phản ứng hết , Ca(OH)₂ dư

Suy ra nCO2 = 0,025 mol

=> VCO2 = 0,025 . 22,4 = 0,56 (lít)

Vì E là trung điểm của AD và F là trung điểm của BC, ABCD là hình thang => EF là đường trung bình hình thang ABCD

\(=AB+CD=2EF\)

Ta có chu vi hình thang ABCD là :

AD + AB + BC + CD = 2DE + (AB+CD) + 2FC

                                = 2DE + 2EF + 2FC 

                                = 2(DE+EF+FC) = 2a