Gọi D, E, F theo thứ tự là trung điểm các cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau
\(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BC}\) \(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{AF}+\overrightarrow{CE}+\overrightarrow{BD}\) \(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{BF}+\overrightarrow{CD}\) \(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AC}\) Hướng dẫn giải:Vì D, E, F theo thứ tự là trung điểm các cạnh BC, CA, AB nên ta có
\(\overrightarrow{AD}=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right),\overrightarrow{BE}=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}\right),\overrightarrow{CF}=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}\right)\)
Cộng theo vế 3 đẳng thức trên ta được \(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{0}\)
Mặt khác, \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BC}=\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\right)+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AC}\ne\overrightarrow{0}\) nên mệnh đề
\(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BC}\) là mệnh đề sai.
Tương tự, \(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AC}\) cũng là mệnh đề sai.
Mặt khác, \(\overrightarrow{AF}+\overrightarrow{CE}+\overrightarrow{BD}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{CA}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC}=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}\right)=\overrightarrow{0}\)
nên \(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{AF}+\overrightarrow{CE}+\overrightarrow{BD}\)là mệnh đề đúng. Tương tự,
\(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{BF}+\overrightarrow{CD}\) cũng đúng.