Bài 7 (3,0 điểm): Cho đường tròn (O), đường kính BC. Trên nửa đường tròn (O), lấy hai điểm A và D (theo thứ tự B, A, D, C). Tia BA và CD cắt nhau tại S, đoạn thẳng AC cắt BD tại H. Gọi I là trung điểm của SH.
a) Chứng minh tam giác ABC và tam giác BDC vuông. Chứng minh tứ giác SAHD nội tiếp.
b) Tia SH cắt BC tại M. DM cắt HC tại K. Chứng minh: \( \widehat{IAH} = \widehat{KDC} \).
c) Trong trường hợp \( \widehat{BSC} = 60^0 \) và BC = 6cm. Tính diện tích hình viên phân tạo bởi Cung AD và dây AD.

Câu 17: (2,5 điểm) 1. Cho đường tròn \( (O, R) \), một đường thẳng \( d \) cố định cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt, từ một điểm \( M \) thuộc đường thẳng \( d \) nằm bên ngoài đường tròn kẻ hai tiếp tuyến \( MC, MD \) tới đường tròn \( (C, D \) là tiếp điểm\).

a) Chứng minh bốn điểm \( M, C, O, D \) cùng thuộc một đường tròn.

b) Chứng minh \( OM \perp CD \). Đoạn thẳng \( OM \) cắt đường tròn tại \( I \), chứng minh \( I \) là tâm đường tròn nội tiếp tam giác \( MCD \).

Câu 4 (4,0 điểm)

Cho hình bình hành \(ABCD\) có \(BD\) là đường chéo lớn. Qua \(A\) kẻ đường thẳng cắt \(BD, BC, DC\) lần lượt tại \(I, N, M\). Gọi \(H\) và \(K\) lần lượt là hình chiếu của \(B\) trên \(AD\) và \(DC\). Chứng minh rằng:
a) \(IN \cdot IM = IA^2\);

b) \(\frac{1}{AI} = \frac{1}{AN} + \frac{1}{AM}\);

c) \(DC \cdot DK + DA \cdot DH = DB^2\).

Cho tam giác Δ A B C ΔABC nhận đường tròn ( O ) (O) nội tiếp. Gọi các đường cao B E , C F BE,CF cắt nhau tại S S. Gọi B C BC cắt O F OF tại M M. Chứng minh rằng: A B ⋅ M B = A E ⋅ B S AB⋅MB=AE⋅BS.) Tam giác A E M đồng dạng với tam giác A B S c) A M cắt E F tại N, A S cắt B C tại P

Câu 17. Cho tam giác nhọn \( ABC \) (\( AB > AC \)); có đường cao \( AH \). Vẽ đường tròn \( (O) \) đường kính \( BC \) cắt cạnh \( AB \) tại \( E \). Trên cung nhỏ \( BE \) lấy điểm \( D \), \( CD \) cắt \( AH \) tại \( G \).

a) Chứng minh bốn điểm \( B, D, G, H \) cùng thuộc một đường tròn.

b) Đường thẳng \( EG \) cắt đường tròn \( (O) \) tại điểm \( M \) (\( M \) khác \( E \)). Hai đường thẳng \( AH \) và \( BM \) cắt nhau tại \( I \). Chứng minh \( GA \cdot GI = GE \cdot GM \)

c) Hai đường thẳng \( AD \) và \( CB \) cắt nhau tại \( N \); \( DB \) và \( CI \) cắt nhau tại \( K \). Chứng minh \( NK \parallel AH \).

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O).Lấy điểm P bất kì trên cung nhỏ AC của đường tròn (O).Gọi D và E theo thứ tự là chân đường vuông góc kẻ từ điểm P đến các đường thẳng AC và BC.Gọi I và F theo thứ tự là trung điểm của AB và DE.chứng minh góc PFI =90

Câu IV (3,0 điểm)

Cho tam giác \( ABC \) có ba góc nhọn, \( AB < AC \), nội tiếp đường tròn \((O)\). Các tiếp tuyến tại \( B, C \) của \((O)\) cắt nhau tại \( D \). Vẽ đường kính \( AK \) của \((O)\), tia \( DK \) cắt \((O)\) tại điểm \( L \) ( \( L \) khác \( K \) ). Đường thẳng qua \( O \) song song với \( AL \) cắt \( BC, KL \) lần lượt tại \( S, H \).

1) Chứng minh rằng tứ giác \( OBDC \) là một tứ giác nội tiếp.
2) Chứng minh rằng \( SO \) là trung trực của đoạn thẳng \( KL \).
3) Gọi \( M \) là trung điểm \( BC \). Chứng minh \( OH : OS = OM : OD \) và \( \widehat{OAH} = \widehat{OSA} \).

Câu 41. Cho điểm A ở ngoài đường tròn (O). Kẻ hai tiếp tuyến AB, AC với (O) (BC là tiếp điểm). Kẻ CD ⊥ AB (D ∈ AB), CD cắt (O) tại M. Vẽ đường tròn đường kính MC cắt AC, BC thứ tự tại E và F. Gọi H là giao điểm của MB và FD, I là giao điểm của MC và EF.
a) Chứng minh tứ giác MDBF nội tiếp.
b) Chứng minh: \(DF^2 = DM \cdot DC\).
c) Trên đoạn AC lấy điểm K sao cho CK = HF. Chứng minh ba điểm H, I, K thẳng hàng.

Một tấm thớt bằng gỗ có hình dạng bát giác đều có độ dài cạnh là 25 cm. Tính diện tích bề mặt tầm thớt (Kết quả làm tròn một số thập phân)

Một tấm thớt bằng gỗ có hình dạng bát giác đều có độ dài cạnh là 25 cm. Tính diện tích bề mặt tầm thớt (Kết quả làm tròn một số thập phân)

Diện tích của một bát giác đều có cạnh \( a \) được tính theo công thức:
\[
S = 2a^2 (1 + \sqrt{2})
\]

Với \( a = 25 \, \text{cm} \), ta có:
\[
S = 2 \times 25^2 \times (1 + \sqrt{2})
\]

Tính toán:
\[
S = 2 \times 625 \times (1 + \sqrt{2}) = 1250 \times (1 + \sqrt{2})
\]

Kết quả làm tròn một số thập phân là:
\[
S \approx 3017.8 \, \text{cm}^2
\]

Câu 5. (3,0 điểm)

Cho tam giác \( ABC \) nhọn, \( (AB < AC) \) nội tiếp đường tròn \( (O) \), hai đường cao \( AD, CE \). Tiếp tuyến của đường tròn \( (O) \) tại \( A \) cắt đường thẳng \( BC \) tại \( G \), từ \( G \) kẻ tiếp tuyến \( GF \) thứ hai đến \( (O) \) (\( F \) là tiếp điểm); \( K \) là hình chiếu của \( C \) lên \( AF \); \( KD \) cắt \( BE \) tại \( L \). Chứng minh:

a) Tứ giác \( AEDC \) nội tiếp

b) \( \angle LDB = \angle CAF \)

c) \( \frac{GB}{GC} = \frac{DB^2}{DE^2} \)