§5. Dấu của tam thức bậc hai

A

Ta có: \(x^2+2x+3\ge0\forall x\in R\)

Để f(x) dương thì \(\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}3x^2-x>0\\4-x^2>0\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}3x^2-x< 0\\4-x^2< 0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}x< 0;x>\dfrac{1}{3}\\-2< x< 2\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}0< x< \dfrac{1}{3}\\x< -2;x>2\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}-2< x< 0;\dfrac{1}{3}< x< 2\\x=\varnothing\end{matrix}\right.\)

Đáp án C

\(f\left(x\right)=\left(25-x^2\right)\left(x^2-4x+3\right).\)

Ta có: \(25-x^2=0.\Leftrightarrow x^2=25.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=5.\\x=-5.\end{matrix}\right.\)

\(x^2-4x+3=0.\Leftrightarrow\left(x-3\right)\left(x-1\right)=0.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=3.\\x=1.\end{matrix}\right.\)

Bảng xét dấu:

\(x\)                       \(-\infty\)          -5               1               3            5          \(+\infty\)

\(25-x^2\)                      -       0       +       |        +      |      +     0      -

\(x^2-4x+3\)               +       |       +      0       -       0      +      |     +

\(f\left(x\right)\)                          -       0       +      0       -        0      +     0      -

Vậy \(f\left(x\right)>0.\Leftrightarrow x\in\left(-5;1\right)\cup\left(3;5\right).\\ f\left(x\right)< 0.\Leftrightarrow x\in\left(-\infty;-5\right)\cup\left(1;3\right)\cup\left(5;+\infty\right).\\ f\left(x\right)=0.\Leftrightarrow x\in\left\{-5;1;3;5\right\}.\)

b: \(\Delta=2^2-4\cdot1\cdot1=0\)

Do đó: Tam thức này dương khi x khác -1; bằng 0 khi x=-1

a: \(\Delta=3^2-4\cdot\left(-5\right)\cdot\left(-1\right)=9-20=-11< 0\)

Do đó: Tam thức này luôn âm với mọi x

c: \(\Delta=1^2-4\cdot1\cdot\left(-2\right)=9\)

Do đó: Tam thức này âm khi -2<x<1

Bằng 0 khi x=-2 hoặc x=1

Dương khi x<-2 hoặc x>1

\(\sqrt{2x-1}< 8-x\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x-1\ge0\\8-x\ge0\\2x-1< \left(8-x\right)^2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ge\dfrac{1}{2}\\x\le8\\x^2-18x+65>0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ge\dfrac{1}{2}\\x\le8\\\left[{}\begin{matrix}x>13\\x< 5\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{2}\le x< 5\)

Trường hợp 1: m=-1

Bất phương trình sẽ là \(0x^2-2\cdot0\cdot x+4>=0\)(luôn đúng)

Trường hợp 2: m<>-1

\(\text{Δ}=\left(2m+2\right)^2-4\cdot4\cdot\left(m+1\right)\)

\(=4m^2+8m+4-16m-16\)

\(=4m^2-8m-12\)

\(=4\left(m^2-2m-3\right)\)

Để bất phương trình có nghiệm đúng với mọi x thực thì \(\left\{{}\begin{matrix}\left(m-3\right)\left(m+1\right)< 0\\\left(m+1\right)>=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-1< m< 3\\m>=-1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow-1< m< 3\)

Vậy: -1<=m<3