§3. Hàm số bậc hai

\(a,\dfrac{13}{38}\) và \(\dfrac{1}{3}.\)

Ta có: \(\dfrac{13}{38}>\dfrac{13}{39}=\dfrac{1}{3}.\)

\(\Rightarrow\dfrac{13}{38}>\dfrac{1}{3}.\)

\(b,\sqrt{235}\) và \(15.\)

Ta có: \(\sqrt{235};15=\sqrt{225}.\)

Vì \(\sqrt{235}>\sqrt{225}\) (do \(235>225\))

nên \(\sqrt{235}>15.\)

ta có : \(\left(p\right)y=2x^2-bx+c\) có đỉnh \(I\left(-1;-4\right)\)

\(\Rightarrow\) \(\left(p\right)y=2x^2-bx+c\) nhận \(x=-1\) làm trục đối xứng

\(\Leftrightarrow\dfrac{-B}{2A}=-1\Leftrightarrow\dfrac{b}{2.2}=-1\Leftrightarrow b=-4\)

ta có : \(I\left(-1;-4\right)\) cũng thuộc \(\left(p\right)y=2x^2-bx+c\) (vì \(I\left(-1;-4\right)\) là đỉnh)

\(\Rightarrow-4=2.\left(-1\right)^2-b.\left(-1\right)+c\Leftrightarrow-4=2.\left(-1\right)^2+4\left(-1\right)+c\)

\(\Leftrightarrow-4=2-4+c\Leftrightarrow c=-4-2+4=-2\)

vậy \(\left(p\right)2x^2+4x-2\)

\(y=\sqrt{\left(x^2-2x+1\right)+4}=\sqrt{\left(x-1\right)^2+4}\ge\sqrt{4}=2\)

Đẳng thức xảy ra khi x = 1

Vậy min y = 2 khi x = 1

Lời giải:

Ta có:

\(f(x^2-2)=f^2(x)-2\)

\(\Leftrightarrow a(x^2-2)^2+b(x^2-2)+c=(ax^2+bx+c)^2-2\)

\(\Leftrightarrow ax^4+x^2(-4a+b)+4a-2b+c=a^2x^4+2abx^3+x^2(b^2+2ac)+2bcx+c^2-2\)

Đồng nhất hệ số:

\(\left\{\begin{matrix} a=a^2(1)\\ 2ab=0(2)\\ -4a+b=b^2+2ac(3)\\ 2bc=0(4)\\ 4a-2b+c=c^2-2(5)\end{matrix}\right.\)

\((1)\Rightarrow a=0\) hoặc \(a=1\)

\(\bullet \)Nếu \(a=1\) thì từ (2) suy ra \(b=0\)

\(f(x)=ax^2+c\)\(\Rightarrow f(-x)=a(-x)^2+c=ax^2+c\)

\(\Leftrightarrow f(x)=f(-x)\) nên hàm là hàm chẵn. (đpcm)

\(\bullet \) \(a=0\)

Từ (3) suy ra \(b^2=b\) nên $b=0$ hoặc $b=1$

Nếu \(b=1\rightarrow \) từ (4) suy ra $c=0$. Thử lại vào (5) thấy thỏa mãn

Vậy \(f(x)=x\), đây không phải hàm chẵn, bài toán chưa chính xác.

Lời giải:

Gọi pt đường thẳng $d$ là: \(y=kx+b\)

Do \(A\in (d)\Rightarrow 1=-3k+b\Leftrightarrow b=3k+1\)

Suy ra \((d):y=kx+3k+1\)

PT hoành độ giao điểm:

\(x^3+3x^2+1-(kx+3k+1)=0\)

\(\Leftrightarrow x^3+3x^2-(kx+3k)=0\)

\(\Leftrightarrow (x+3)(x^2-k)=0\) (1)

Để 2 đths giao nhau tại 3 điểm phân biệt thì (1) phải có 3 nghiệm phân biệt, do đó \(x^2-k=0\) phải có hai nghiệm phân biệt khác -3

\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} \Delta=4k>0\\ (-3)^2-k\neq 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} k>0\\ k\neq 9\end{matrix}\right.\)

Khi chưa tăng tiền vé thì công ty thu được số tiền 1 tháng là:

50000 . 1000 = 50000000 đ = 50 triệu đồng

Khi tăng vé thì công ti thu được là:

(50000 + 10000) . 500 = 30000000 đ = 30 triệu đồng

Do đó mức giá là 50000đ/người là thích hợp đối với công ty

Nếu cách kia chưa hiểu thì làm cách này:

Vì ta có \(\frac{500}{1000}\) = \(\frac{1}{2}\) Vì khi tăng giá thì lượng khách giảm đi 1 nửa là 2 lần nên để số tiền thu được mỗi tháng lớn hơn hoặc là bằng số tiền ban đầu thì bắc buộc công ty phải tăng gia vé lên gấp 2 lần hoặc cao hơn....

Mà công ty chỉ tăng thêm \(\frac{10}{50}=\frac{1}{5}\) do đó mức giá ban đầu là thích hợp nhất

\(\sqrt{2x^2-6x+m}=x-1\left(ĐK:x\ge1\right)\)

\(\Leftrightarrow2x^2-6x+m=x^2-2x+1\)

\(\Leftrightarrow x^2-4x+m-1=0\)

\(\Delta'=\left(-2\right)^2-\left(m-1\right)=5-m\)

Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thì \(\Delta'\ge0\Leftrightarrow5-m\ge0\Leftrightarrow m\le5\).