§2. Bất phương trình và hệ bất phương trình một ẩn

ĐK: \(x\ge4;x\le0\)

TH1: \(\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=4\end{matrix}\right.\Rightarrow bpt\) đúng

TH2: \(x\ne0;x\ne4\)

Bất phương trình tương đương:

\(\dfrac{x^2-3x+2}{x-3}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(x-1\right)\left(x-2\right)}{x-3}\ge0\)

Lập bảng xét dấu:

Dựa vào bảng xét dấu, bất phương trình có nghiệm \(x\in\left[1;2\right]\cup\left(3;+\infty\right)\)

Kết luận: Bất phương trình đã cho có tập nghiệm \(x\in\left[1;2\right]\cup\left(3;+\infty\right)\cup\left\{0\right\}\)

1.

- Với \(m=1\) không thỏa mãn

- Với \(m\ne1\) BPT đúng với mọi x khi và chỉ khi:

\(\left\{{}\begin{matrix}m-1< 0\\\Delta=\left(2m-1\right)^2+4\left(m-1\right)< 0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< 1\\4m^2-3< 0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< 1\\-\dfrac{\sqrt{3}}{2}< m< \dfrac{\sqrt{3}}{2}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow-\dfrac{\sqrt{3}}{2}< m< \dfrac{\sqrt{3}}{2}\)

2.

Với \(m=\dfrac{1}{2}\) ko thỏa mãn

Với \(m\ne\dfrac{1}{2}\) BPT đúng với mọi x khi và chỉ khi:

\(\left\{{}\begin{matrix}1-2m>0\\\Delta=\left(m-2\right)^2-4\left(1-2m\right)< 0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< \dfrac{1}{2}\\m^2+4m< 0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< \dfrac{1}{2}\\-4< m< 0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow-4< m< 0\)

\(x^4-1>x^2+2x\)

\(\Leftrightarrow x^4-x^2-2x-1>0\)

\(\Leftrightarrow x^4-\left(x+1\right)^2>0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-x-1\right)\left(x^2+x+1\right)>0\)

\(\Leftrightarrow x^2-x-1>0\) (Vì \(x^2+x+1>0\))

\(\Leftrightarrow\left|x\right|>\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\)

\(\Rightarrow\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}< \left|x\right|\le2019\)

\(\Rightarrow2\le\left|x\right|\le2019\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}2\le x\le2019\\-2019\le x\le-2\end{matrix}\right.\)

Vì \(x\in Z\Rightarrow\) có 4036 giá trị thỏa mãn

1.

\(\left(-3x-6\right)\left(2x+2\right)\left(x+3\right)\ge0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x\le-3\\-2\le x\le-1\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow x\in(-\infty;-3]\cup\left[-2;-1\right]\)

2.

Do M thuộc Ox nên tọa độ có dạng: \(M\left(m;0\right)\)

Ta có: \(d\left(M;d_1\right)=d\left(M;d_2\right)\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\left|3m-6\right|}{\sqrt{3^2+2^2}}=\dfrac{\left|3m+6\right|}{\sqrt{3^2+2^2}}\)

\(\Leftrightarrow\left|3m-6\right|=\left|3m+6\right|\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}3m-6=3m+6\\3m-6=-3m-6\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}-6=6\left(vô-nghiệm\right)\\m=0\end{matrix}\right.\)

Vậy \(M\left(0;0\right)\)

3.

- Với \(m=0\Rightarrow-3< 0\) (thỏa mãn)

- Với \(m\ne0\) BPT đúng với mọi x khi và chỉ khi:

\(\left\{{}\begin{matrix}a=m< 0\\\Delta'=m^2+3m< 0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< 0\\-3< m< 0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow-3< m< 0\)

Kết hợp lại ta được: \(-3< m\le0\)

4.

\(P=xy+\dfrac{1}{16xy}+\dfrac{15}{16xy}\ge2\sqrt{\dfrac{xy}{16xy}}+\dfrac{15}{4\left(x+y\right)^2}=\dfrac{17}{4}\)

\(P_{min}=\dfrac{17}{4}\) khi \(x=y=\dfrac{1}{2}\)

1.

\(\left(x-1\right)\left(2-3x\right)< 0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x>1\\x< \dfrac{2}{3}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x\in\left(-\infty;\dfrac{2}{3}\right)\cup\left(1;+\infty\right)\)

2.

\(\dfrac{1-7x}{x\left(x+1\right)}\ge0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x< -1\\0< x\le\dfrac{1}{7}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x\in\left(-\infty;-1\right)\cup(0;\dfrac{1}{7}]\)

3.

\(x\left(x-2\right)\left(4-2x\right)\le0\Leftrightarrow-2x\left(x-2\right)^2\le0\)

\(\Leftrightarrow2x\left(x-2\right)^2\ge0\Rightarrow x\ge0\)

\(\Rightarrow x\in[0;+\infty)\)

4.

\(\dfrac{2x\left(3x-1\right)}{6-3x}\le0\Leftrightarrow\dfrac{x\left(3x-1\right)}{2-x}\le0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}0\le x\le\dfrac{1}{3}\\x>2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow x\in\left[0;\dfrac{1}{3}\right]\cup\left(2;+\infty\right)\)