Violympic toán 9

Ta có: \(a=2007-2\sqrt{2006}=\left(\sqrt{2007}-1\right)^2\)

\(\Rightarrow\sqrt{a}=\left|\sqrt{2017}-1\right|=\sqrt{2017}-1\)

Thay \(\sqrt{a}=\sqrt{2017}-1\) vào \(A=\dfrac{a+\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}-1}\) ta có:

\(A=\dfrac{2018-2\sqrt{2017}+1+\sqrt{2017}-1}{\sqrt{2017}-1-1}=\dfrac{2018-\sqrt{2017}}{\sqrt{2017}-2}\)

Tập xác định : R

Chiều biến thiên : hàm số đồng biến trên \(\left(-\infty;0\right)\)

hàm số nghịch biến trên \(\left(0;+\infty\right)\)

Lập bảng giá trị để vẽ đồ thị 

ĐKXĐ : \(\left\{{}\begin{matrix}a^2-b^2>0\\a-\sqrt{a^2-b^2}\ne0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^2>b^2\\a^2-b^2\ne a^2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^2>b^2\\b^2\ne0\end{matrix}\right.\)

Lời giải:
ĐKXĐ: \(\left\{\begin{matrix} a^2-b^2>0\\ a-\sqrt{a^2-b^2}\neq 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a^2>b^2\\ a\neq \sqrt{a^2-b^2}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a^2> b^2\\ a\neq \sqrt{a^2-b^2}\end{matrix}\right.\)

ĐKXĐ : \(x\ge0\)

Có \(\left|C\right|=\dfrac{1}{3}\)

=> \(\left|\dfrac{-1}{\sqrt{x}+1}\right|=\dfrac{1}{3}\) 

<=> \(\dfrac{1}{\left|\sqrt{x}+1\right|}=\dfrac{1}{3}\)

\(\Leftrightarrow\left|\sqrt{x}+1\right|=3\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\sqrt{x}+1=3\\\sqrt{x}+1=-3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\sqrt{x}=2\\\sqrt{x}=-4\left(\text{loại}\right)\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=4\left(tm\right)\)

Vậy x = 4 thì |C| = 1/3 

\(ĐKXĐ:x\ge0 \\|C|=\dfrac{1}{3}->|\dfrac{-1}{\sqrt x+1}|=\dfrac{1}{3} \\Do\ \dfrac{-1}{\sqrt x+1}<0 \\->\dfrac{-1}{\sqrt x+1}=\dfrac{-1}{3} \\->\sqrt x+1=3<=>x=4(thoả)\)

Ta có: \(\left|C\right|=\dfrac{1}{3}\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}C=\dfrac{1}{3}\\C=-\dfrac{1}{3}\end{matrix}\right.\)

Với \(C=\dfrac{1}{3}\) ta có: 

\(-\dfrac{1}{\sqrt{x}+1}=\dfrac{1}{3}\) (ĐKXĐ: \(x\ge0\))

\(\Leftrightarrow\sqrt{x}+1=-3\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x}=-4\)

Vì \(\sqrt{x}\ge0\forall x\)

Mà \(\sqrt{x}=-4\) (vô lí)

Vậy \(x\in\varnothing\)

Với \(C=-\dfrac{1}{3}\) ta có:

\(-\dfrac{1}{\sqrt{x}+1}=-\dfrac{1}{3}\) (ĐKXĐ: \(x\ge0\))

\(\Leftrightarrow\sqrt{x}+1=3\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x}=2\)

\(\Leftrightarrow x=4\) (TMĐK)

Vậy \(x=4\) thì \(\left|C\right|=\dfrac{1}{3}\)

\(xy+\sqrt{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)}=a\)

\(\Rightarrow x^2y^2+2xy\sqrt{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)}+\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)=a^2\)

\(\Rightarrow x^2\left(1+y^2\right)+y^2\left(1+x^2\right)+2.x\sqrt{1+y^2}.y\sqrt{1+x^2}+1=a^2\)

\(\Rightarrow\left(x\sqrt{1+y^2}+y\sqrt{1+x^2}\right)^2+1=a^2\)

\(\Rightarrow E^2+1=a^2\)

\(\Rightarrow E=\pm\sqrt{a^2-1}\)

\(a^2=x^2y^2+(1+x^2)(1+y^2)+2xy\sqrt{(1+x^2)(1+y^2)} \\->2xy\sqrt{(1+x^2)(1+y^2)}=a^2-2x^2y^2-1-x^2-y^2 \\E^2=x^2(1+y^2)+y^2(1+x^2)+2xy\sqrt{(1+x^2)(1+y^2)} \\=x^2+y^2+2x^2y^2+a^2-2x^2y^2-1-x^2-y^2 \\=a^2-1\)

Amin=0 , a=1

\(A=a-\sqrt{a}=\left(\sqrt{a}-\dfrac{1}{2}\right)^2-\dfrac{1}{4}\ge-\dfrac{1}{4}\)

\(A_{min}=-\dfrac{1}{4}\) khi \(a=\dfrac{1}{4}\)

Đặt \(x=\sqrt{\dfrac{5+2\sqrt{6}}{5-\sqrt{6}}}+\sqrt{\dfrac{5-2\sqrt{6}}{5+\sqrt{6}}}>0\)

\(x^2=\dfrac{5+2\sqrt{6}}{5-\sqrt{6}}+\dfrac{5-2\sqrt{6}}{5+\sqrt{6}}+2\sqrt{\dfrac{25-24}{25-6}}=\dfrac{74}{19}+\dfrac{2\sqrt{19}}{19}\)

\(\Rightarrow x^2=\dfrac{74+2\sqrt{19}}{19}\Rightarrow x=\sqrt{\dfrac{74+2\sqrt{19}}{19}}\)

Ko thể rút gọn thêm nữa (có thể trục căn thức ở mẫu)

đừng để ý cái đen đen🥲

ms lm xong luon này