a, giải \(\left\{{}\begin{matrix}x^2+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{x}{y}=3\\x+\dfrac{1}{y}+\dfrac{x}{y}=3\end{matrix}\right.\)
b, tìm x hữa tỷ sao cho \(A=x^2+x+6\) là số chính phương
c, cho\(x\ge1,y\ge1\).
CM: \(\dfrac{x^3+y^3-\left(x^2+y^2\right)}{\left(x-1\right)\left(y-1\right)}\ge8\)
\(\dfrac{2\sqrt{a}}{a^3+b^2}+\dfrac{2\sqrt{b}}{b^3+c^2}+\dfrac{2\sqrt{c}}{c^3+a^2}\le\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}\)
Giải phương trình vô tỉ
1) \(\sqrt{1-\sqrt{x}}+\sqrt{4+x}=3\)
2) \(\sqrt[3]{x+45}-\sqrt[3]{x-16}=1\)
Câu 1:
ĐK: \(0\leq x\leq 1\)
Áp dụng bđt Bunhiacopxky:
\(\text{VT}^2=(\sqrt{1-\sqrt{x}}+\sqrt{4+x})^2\leq [1-\sqrt{x}+\frac{4+x}{2}](1+2)\)
\(\Leftrightarrow \text{VT}^2\leq 3\left(3+\frac{x-2\sqrt{x}}{2}\right)\)
Vì \(0\leq x\leq 1\Rightarrow x-2\sqrt{x}\leq \sqrt{x}-2\sqrt{x}=-\sqrt{x}\leq 0\)
Do đó: \(\text{VT}^2\leq 3.3=9\Rightarrow \text{VT}\leq 3\)
Dấu bằng xảy ra khi :
\(\frac{\sqrt{1-\sqrt{x}}}{1}=\frac{\sqrt{4+x}}{2}; x=\sqrt{x}\Rightarrow x=0\)
2)
\(\sqrt[3]{x+45}-\sqrt[3]{x-16}=1\)
Đặt \(\sqrt[3]{x+45}=a; \sqrt[3]{x-16}=b\). Ta thu được HPT:
\(\left\{\begin{matrix} a-b=1\\ a^3-b^3=61\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a-b=1\\ (a-b)^3+3ab(a-b)=61\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a-b=1\\ 1+3ab=61\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a-b=1\\ ab=20\end{matrix}\right.\)
Thay \(a=b+1\Rightarrow (b+1)b=20\)
\(\Leftrightarrow b^2+b-20=0\Leftrightarrow (b-4)(b+5)=0\)
\(\Rightarrow \left[\begin{matrix} b=4\rightarrow x=80\\ b=-5\rightarrow x=-109\end{matrix}\right.\)
\(Cho\) \(a;b;c\ge0\) thỏa mãn \(a+b+c=1\)\(.\)Tìm GTLn của biểu thức:
\(P=\dfrac{a^2+1}{b^2+1}+\dfrac{b^2+1}{c^2+1}+\dfrac{c^2+1}{a^2+1}\)
Lời giải:
Ta có:
\(P=\frac{a^2+1}{b^2+1}+\frac{b^2+1}{c^2+1}+\frac{c^2+1}{a^2+1}\)
\(=a^2+1-\frac{b^2(a^2+1)}{b^2+1}+b^2+1-\frac{c^2(b^2+1)}{c^2+1}+c^2+1-\frac{a^2(c^2+1)}{a^2+1}\)
\(=a^2+b^2+c^2+3-\left(\frac{b^2(a^2+1)}{b^2+1}+\frac{c^2(b^2+1)}{c^2+1}+\frac{a^2(c^2+1)}{a^2+1}\right)(*)\)
Vì \(a,b,c\geq 0; a+b+c=1\Rightarrow 0\leq a,b,c\leq 1\)
\(\Rightarrow 0\leq a^2,b^2,c^2\leq 1\)
Do đó:
\(\frac{b^2(a^2+1)}{b^2+1}+\frac{c^2(b^2+1)}{c^2+1}+\frac{a^2(c^2+1)}{a^2+1}\geq \frac{b^2(a^2+1)}{2}+\frac{c^2(b^2+1)}{2}+\frac{a^2(c^2+1)}{2}(**)\)
Từ \((*);(**)\Rightarrow P\leq a^2+b^2+c^2+3-\frac{a^2+b^2+c^2+(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)}{2}=3+\frac{a^2+b^2+c^2-(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)}{2}\)
Mà: \(a^2+b^2+c^2-(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)=(a+b+c)^2-[2(ab+bc+ac)+(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2]\)
\(=1-[2(ab+bc+ac)+(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2]\leq 1\) do \(a,b,c\geq 0\)
Suy ra \(P\leq 3+\frac{a^2+b^2+c^2-(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)}{2}\leq 3+\frac{1}{2}=\frac{7}{2}\)
Vậy \(P_{\max}=\frac{7}{2}\Leftrightarrow (a,b,c)=(1,0,0)\) và hoán vị.
Giải các hệ phương trình sau:
1) \(\begin{cases} x + 2y = 5\\ x^2 + 2y^2 - 2xy = 5 \end{cases}\)
2) \(\begin{cases} 4x+4y-5=0\\ (x+1)^2+(y-3)^2=1 \end{cases}\)
3) \(\begin{cases} a^2+(b-2)^2=b^2\\ a^2+(b-1)^2=1 \end{cases}\)
4) \(\begin{cases} ab-5a-2b+8=0\\ a^2-4a=b^2-10b+24 \end{cases}\)
5) \(\begin{cases} xy+x-2=0\\ 2x^3-x^2y+x^2+y^2-2xy-y=0 \end{cases}\)
6) \(\begin{cases} x+y=1-2xy\\ x^2+y^2=1 \end{cases}\)
7) \(\begin{cases} x+y+{1\over x}+{1\over y}=5\\ x^2+y^2+{1\over x^2}+{1\over y^2}=9 \end{cases}\)
8) \(\begin{cases} x^2+y^2-x+y=2\\ xy+x-y=-1 \end{cases}\)
9) \(\begin{cases} x^3-3x^2+9x+22=y^3+3y^2-9y\\ x^2+y^2-x+y={1\over 2} \end{cases}\)
10) \(\begin{cases} x^2-4x=3y\\ y^2-4y=3x \end{cases}\)
Chào mọi người! Em vừa thi tuyển sinh 10 xong và dưới đây là đề tuyển sinh Toán của trường em vào, mong mọi người giúp em giải với ạ!
Em cảm ơn rất nhiều ạ!
Câu 1: (2,0 điểm)
1. Giải các phương trình sau:
a) \(5\left(x+1\right)=3x+7\) ; b) \(x^4-x^2-12=0\)
2. Cho hệ phương trình: \(\left\{{}\begin{matrix}3x-y=2m-1\\x+2y=3m+2\end{matrix}\right.\)
a) Giải hệ phương trình khi m =1.
b) Tìm m để hệ có nghiệm (x;y) thoả mãn: \(x^2+y^2=10\).
Câu 2: (1,5 điểm) Cho biểu thức: \(A=\left(\dfrac{1}{x-\sqrt{x}}+\dfrac{1}{\sqrt{x}-1}\right):\dfrac{\sqrt{x}+1}{\left(\sqrt{x}-1\right)^2}\) (với \(x>0;x\ne1\))
a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: \(P=A-9\sqrt{x}\)
Câu 3: (1,0 điểm) Một chiếc bè trôi từ bến sông A đến bến B với vận tốc dòng nước là 4 km/h, cùng lúc đó một chiếc thuyền chạy từ bến A đến B rồi quay lại ngay thì gặp chiếc bè tại vị trí C cách bến A là 8 km. Tính vận tốc thực của thuyền biết khoảng cách giữa hai bến A và B là 24 km.
Câu 4: (1,5 điểm) Trong hệ toạ độ Oxy, cho Parabol (P) : \(y=x^2\) và đường thẳng (d) có phương trình: \(y=\left(m-1\right)x+m^2-2m+3\)
a) Chứng minh với mọi giá trị của m thì (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt.
b) Giả sử (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B. Tìm m để tam giác OAB cân tại O. Khi đó tính diện tích tam giác OAB.
Câu 5: (3,0 điểm) Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB, M là một điểm bất kì thuộc đường tròn \(\left(M\ne A,B\right)\) . Tiếp tuyến tại M cắt các tiếp tuyến Ax và By của nửa đường tròn đó tại C và D.
a) Chứng minh: \(\widehat{COD}=90^o\)
b) Gọi K là giao điểm của BM với Ax. Chứng minh: \(\Delta KMO\sim\Delta AMD\)
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng diện tích hai tam giác ACM và BDM.
Câu 6: (1,0 điểm)
a) Cho hàm số: \(y=f\left(x\right)\) với \(f\left(x\right)\) là một biểu thức đại số xác định với mọi số thực \(x\ne0\). Biết rằng \(f\left(x\right)+3f\left(\dfrac{1}{x}\right)=x^2\left(\forall x\ne0\right)\). Tính \(f\left(2\right)\).
b) Cho ba số nguyên dương a, b, c đôi một khác nhau và thoả mãn: a là ước của b + c + bc, b là ước của c + a + ca và c là ước của a + b + ab. Chứng minh a, b, c không đồng thời là các số nguyên tố.
Câu 6b:
Phản chứng. Giả sử $a,b,c$ đồng thời là các số nguyên tố (đường nhiên khác nhau)
Theo bài ra ta có:
\(\left\{\begin{matrix} a+b+ab\vdots c\\ b+c+bc\vdots a\\ c+a+ac\vdots b\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a+b+c+ab+bc+ac\vdots c\\ a+b+c+ab+bc+ac\vdots a\\ a+b+c+ab+bc+ac\vdots b\end{matrix}\right.\)
Vì $a,b,c$ là các số nguyên tố khác nhau nên $(a,b,c)$ đôi một nguyên tố cùng nhau
Do đó:
\(a+b+c+ab+bc+ac\vdots abc\)
Đặt \(a+b+c+ab+bc+ac=kabc\) (\(k\in\mathbb{N}^*)\)
\(\Rightarrow k=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}(*)\)
Giả sử \(a=\min (a,b,c)\) Nếu $a=2$ thì $b,c$ sẽ là snt lẻ. Theo đề bài thì:\( b+c+bc\vdots 2\) (hoàn toàn vô lý do \(b+c+bc\) lẻ với $b,c$ lẻ)
Do đó \(\min (a,b,c)>2(**)\)
Từ \((*);(**)\Rightarrow k\leq \frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+\frac{1}{3.5}+\frac{1}{5.7}+\frac{1}{3.7}< 1\) (vl vì $k$ là số nguyên dương)
Vậy điều giả sử hoàn toàn vl
Tức là $a,b,c$ không thể đồng thời là các số nguyên tố (đpcm)
P/s: Đây là đề tỉnh nào đây bạn? Bạn làm bài tốt chứ :)
Câu 1:
1.
a) \(5(x+1)=3x+7\)
\(\Leftrightarrow 2x=2\Leftrightarrow x=1\)
b) \(x^4-x^2-12=0\)
\(\Leftrightarrow 4x^4-4x^2-48=0\)
\(\Leftrightarrow (2x^2-1)^2-7^2=0\)
\(\Leftrightarrow (2x^2-8)(2x^2+6)=0\Leftrightarrow 2x^2=8\Leftrightarrow x^2=4\)
\(\Leftrightarrow x=\pm 2\)
2.
a) \(\left\{\begin{matrix} 3x-y=2m-1\\ x+2y=3m+2\end{matrix}\right.\). Khi $m=1$ thì hpt trở thành:
\(\left\{\begin{matrix} 3x-y=1\\ x+2y=5\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 6x-2y=2\\ x+2y=5\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow 7x=2+5=7\Rightarrow x=1\)
Thay vào: \(y=3x-1=3.1-1=2\)
Vậy \((x,y)=(1,2)\)
b) \(\left\{\begin{matrix} 3x-y=2m-1\\ x+2y=3m+2\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 6x-2y=4m-2\\ x+2y=3m+2\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow 6x+x=4m-2+3m+2\Leftrightarrow 7x=7m\Rightarrow x=m\)
\(y=3x-(2m-1)=3m-(2m-1)=m+1\)
Do đó:
\(x^2+y^2=10\)
\(\Leftrightarrow m^2+(m+1)^2=10\)
\(\Leftrightarrow 2m^2+2m-9=0\)
\(\Leftrightarrow m=\frac{-1\pm \sqrt{19}}{2}\)
Câu 2:
a) \(A=\left(\frac{1}{x-\sqrt{x}}+\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)}\right):\frac{\sqrt{x}+1}{(\sqrt{x}-1)^2}\)
\(A=\frac{1+\sqrt{x}}{x-\sqrt{x}}:\frac{1+\sqrt{x}}{(\sqrt{x}-1)^2}\)
\(A=\frac{1+\sqrt{x}}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)}.\frac{(\sqrt{x}-1)^2}{\sqrt{x}+1}=\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}}\)
b)
\(P=A-9\sqrt{x}=\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}}-9\sqrt{x}=1-(\frac{1}{\sqrt{x}}+9\sqrt{x})\)
Áp dụng BĐT Cô-si: \(9\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}\geq 2\sqrt{9\sqrt{x}.\frac{1}{\sqrt{x}}}=6\)
Do đó: \(P\leq 1-6=-5\Leftrightarrow P_{\max}=-5\)
Dấu bằng xảy ra khi \(9\sqrt{x}=\frac{1}{\sqrt{x}}\Leftrightarrow x=\frac{1}{9}\)
Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn (AB<AC) nội tiếp đường tròn (O;R). Vẽ đường kính AD, tiếp tuyến với đường tròn (O;R) tại D cắt BC tại E. Vẽ OH vuông góc với BC.
a/ Chứng minh tứ giác OHDE nội tiếp
b/ Chứng minh \(ED^2=EC.EB\)
c/ Từ C vẽ đường thẳng song song với EO cắt AD tại I. Chứng minh HI song song với AB
d/ Qua D vẽ đường thẳng song song với EO cắt AB và AC lần lượt tại M và N. Chứng minh DM=DN
a) có \(\widehat{HOG}+\widehat{OGH}=90^o\) (do OH \(\perp\) BC)
mà \(\widehat{GED}+\widehat{EGD}=90^o\) (do tiếp tuyến tại D)
lại có \(\widehat{OGH}=\widehat{EGD}\) (đối đỉnh)
\(\rightarrow\widehat{GOH}=\widehat{GED}\) mà hai góc này cùng nhìn cung HD
\(\Rightarrow\) Tứ giác OHDE nội tiếp (đpcm)
b) Nối BD, CD
có \(\widehat{CBD}=\dfrac{1}{2}sđ\stackrel\frown{CD}\) (góc nội tiếp chắn cung CD)
có \(\widehat{CDE}=\dfrac{1}{2}sđ\stackrel\frown{CD}\) (góc giữa tiếp tuyến và một dây)
\(\rightarrow\widehat{CBD}=\widehat{CDE}\)
mà có \(\widehat{CED}\) chung
\(\Rightarrow\Delta EBD\) ~ \(\Delta EDC\) (g.g)
\(\Rightarrow\dfrac{ED}{EC}=\dfrac{EB}{ED}\rightarrow ED^2=EC.EB\) (đpcm)
c) CI // OE \(\Rightarrow\widehat{GCI}=\widehat{GEO}\) (so le trong) (1)
có tứ giác OHDE nội tiếp (câu a)
\(\Rightarrow\widehat{OEG}=\widehat{ODH}\) (cùng chắn cung OH) (2)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\widehat{ICG}=\widehat{IDH}\)
Mà hai góc này cùng chắn cung IH
Suy ra tứ giác IHDC nội tiếp
\(\Rightarrow\widehat{DIH}=\widehat{BCD}\) (cùng chắn cung HD)
Dễ thấy tứ giác ABDC nội tiếp
\(\Rightarrow\widehat{BAD}=\widehat{BCD}\) (cùng chắn cung BD)
\(\Rightarrow\widehat{DIH}=\widehat{BAD}\)
Mà hai góc này ở vị trí so le trong suy ra HI // AB (đpcm)
Câu d) tạm thời mình chưa nghĩ được nha!
Chúc bạn học tốt
a) Do DE là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại D nên \(OD\perp DE\Rightarrow\widehat{ODE}=90^o\)
Xét tứ giác OHDE có: \(\widehat{OHE}=\widehat{ODE}=90^o\) mà H, D là hai đỉnh kề nhau nên OHDE là tứ giác nội tiếp (Dấu hiệu)
b) Xét tam giác EDC và tam giác EBD có:
Góc E chung
\(\widehat{CDE}=\widehat{DBE}\) (Góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến dây cung cùng chắn cung DC)
\(\Rightarrow\Delta EDC\sim\Delta EBD\left(g-g\right)\)
\(\Rightarrow\frac{ED}{EB}=\frac{EC}{ED}\Rightarrow ED^2=EC.EB\)
c) Do tứ giác OHDE nội tiếp nên \(\widehat{OEH}=\widehat{ODH}\) (Hai góc nội tiếp cùng chắn cung OH)
Lại do IC // OE nên \(\widehat{OEH}=\widehat{ICH}\) (Hai góc đồng vị)
Vậy nên \(\widehat{ICH}=\widehat{IDH}\)
Suy ra tứ giác IHDC là tứ giác nội tiếp.
Từ đó ta có: \(\widehat{HID}=\widehat{HCD}\) (Hai góc nội tiếp cùng chắn cung DH)
Lại có tứ giác ABDC cũng nội tiếp nên \(\widehat{HCD}=\widehat{BAD}\)(Hai góc nội tiếp cùng chắn cung DB)
Vậy nên \(\widehat{HID}=\widehat{BAD}\). Chúng lại ở vị trí đồng vị nên HI // AB.
d) Gọi J là giao điểm của CI và AB.
Do OH vuông góc BC nên theo tính chất đường kính dây cung thì H là trung điểm BC.
Xét tam giác BCJ có H là trung điểm BC, HI // BJ nên HI là đường trung bình tam giác BCJ.
Suy ra I là trung điểm CJ.
Ta có CJ // OE, MN // OE nên CJ// MN.
Áp dụng hệ quả định lý Talet ta có:
\(\frac{IJ}{MD}=\frac{AI}{AD}=\frac{IC}{DN}\)
Do IJ = IC nên MD = DN (đpcm)
(Lời giải của cô Hoàng Thị Thu Huyền)
Cho các số thực a; b; c > -1 thoả mãn \(a^2+b^2+c^2=27\)
Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(P=a^3+b^3+c^3\)
Lời giải:
Đặt \((a,b,c)=(x-1,y-1,z-1)\Rightarrow x,y,z>0\)
Điều kiện: \(a^2+b^2+c^2=27\)
\(\Leftrightarrow (x-1)^2+(y-1)^2+(z-1)^2=27\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2=24+2(x+y+z)(*)\)
Ta có:
\(P=(x-1)^3+(y-1)^3+(z-1)^3\)
\(=x^3+y^3+z^3-3(x^2+y^2+z^2)+3(x+y+z)-3\)
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(x^3+16x\geq 8x^2;y^3+16y\geq 8y^2; z^3+16z\geq 8z^2\)
\(\Rightarrow P\geq 5(x^2+y^2+z^2)-13(x+y+z)-3\)
\(\Leftrightarrow P\geq 5[24+2(x+y+z)]-13(x+y+z)-3\)
\(\Leftrightarrow P\geq 120-3(x+y+z)-3\)
Áp dụng AM-GM cho $(*)$ thì:
\(24+3(x+y+z)\geq \frac{(x+y+z)^2}{3}\). Coi $x+y+z=t$ là biến, giải BPT suy ra \(t=x+y+z\leq 12\)
\(\Rightarrow P\geq 120-3.12-3=81\)
Vậy $P_{\min}=81$ khi $a=b=c=3$
B1: giai pt: a, \(\dfrac{\left(x+1\right)^4}{\left(x^2+1\right)^2}+\dfrac{4x}{x^2+1}=6\)
B2: Tính giá trị của A= \(\dfrac{x^2-\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1}-\dfrac{x^2+\sqrt{x}}{x-\sqrt{x}+1}+x+1\)
B3: CMR voi 3 số thực a,b,c tùy ý thì ít nhất 1 trong 3 pt sau phải có nghiệm:
\(x^2-2ax+2b-1=0\left(1\right);x^2-2bx+2c-1=0\left(2\right);x^2-2cx+2a-1=0\left(3\right)\)
Bài 1:
\(\frac{(x+1)^4}{(x^2+1)^2}+\frac{4x}{x^2+1}=6\)
\(\Leftrightarrow \frac{(x+1)^4+4x(x^2+1)}{(x^2+1)^2}=6\)
\(\Leftrightarrow \frac{x^4+8x^3+6x^2+8x+1}{(x^2+1)^2}=6\Rightarrow x^4+8x^3+6x^2+8x+1=6(x^2+1)^2\)
\(\Leftrightarrow x^4+8x^3+6x^2+8x+1=6(x^4+2x^2+1)\)
\(\Leftrightarrow 5x^4-8x^3+6x^2-8x+5=0\)
\(\Leftrightarrow 5x^3(x-1)-3x^2(x-1)+3x(x-1)-5(x-1)=0\)
\(\Leftrightarrow (x-1)(5x^3-3x^2+3x-5)=0\)
\(\Leftrightarrow (x-1)[5(x-1)(x^2+x+1)-3x(x-1)]=0\)
\(\Leftrightarrow (x-1)^2(5x^2+2x+5)=0\)
Dễ thấy \(5x^2+2x+5>0\), do đó \((x-1)^2=0\Leftrightarrow x=1\)
Bài 2: ĐK: \(x\geq 0\)
\(A=\frac{x^2-\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1}-\frac{x^2+\sqrt{x}}{x-\sqrt{x}+1}+x+1\)
\(A=\frac{\sqrt{x}(\sqrt{x^3}-1)}{x+\sqrt{x}+1}-\frac{\sqrt{x}(\sqrt{x^3}+1)}{x-\sqrt{x}+1}+x+1\)
\(A=\frac{\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)(x+\sqrt{x}+1)}{x+\sqrt{x}+1}-\frac{\sqrt{x}(\sqrt{x}+1)(x-\sqrt{x}+1)}{x-\sqrt{x}+1}+x+1\)
\(A=\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)-\sqrt{x}(\sqrt{x}+1)+x+1\)
\(A=x-2\sqrt{x}+1=(\sqrt{x}-1)^2\)
Bài 3:
Ta có:
\(\Delta'_1=a^2-(2b-1)=a^2-2b+1\)
\(\Delta'_2=b^2-(2c-1)=b^2-2c+1\)
\(\Delta'_3=c^2-(2a-1)=c^2-2a+1\)
Do đó:
\(\Delta'_1+\Delta'_2+\Delta'_3=a^2-2b+1+b^2-2c+1+c^2-2a+1\)
\(=(a-1)^2+(b-1)^2+(c-1)^2\geq 0,\forall a,b,c\in\mathbb{R}\)
Suy ra ít nhất một trong ba số \(\Delta'_1; \Delta'_2; \Delta'_3\geq 0\) vì nếu tất cả đều âm thì tổng của chúng âm( mâu thuẫn)
Điều đó đồng nghĩa với việc ít nhất một trong 3 phương trình đã cho có nghiệm.
Bài 1: Giải các phương trình, hệ phương trình sau:
a) \((3x+1)(4x+1)(6x+1)(12x+1)=2\)
b) \(\begin{cases} x(x+\dfrac{4}{y})+\dfrac{1}{y^2}=2 \\ x(2+\dfrac{1}{y})+\dfrac{2}{y}=3 \end{cases}\)
c) \((x^2-9)\sqrt{2-x}=x(x^2-9)\)
d) \(\begin{cases} (x^2+4y^2)^2-4(x^2+4y^2)=5\\ 3x^2+2y^2=5 \end{cases}\)
e) \(\sqrt{2x-1}+\sqrt{1-2x^2}=2 \sqrt{x-x^2}\)
f) \(\dfrac{9}{x^2}+\dfrac{2x}{\sqrt{2x^2+9}}-1=0\)
Bài 2: a) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: \(3x^2-2y^2-5xy+x-2y-7=0\)
b) Cho các số thực a, b thỏa mãn căn bậc \(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b} =\sqrt[3]{b-\dfrac{1}{4}}\). CMR: \(-1< a <0\)
c) Tìm số nguyên a, b, c thỏa: \(a+b+c=0\), \(ab+bc+ca=3\)
d) Với k là số nguyên dương, chứng minh rằng không tồn tại các số nguyên a,b,c khác 0 sao cho \(a+b+c=0\), \(ab+bc+ca+2^k=0 \)
Bài 3: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O. Đường thẳng vuông góc với AD tại A cắt BC tại E. Đường thẳng vuông góc với AB tại A cắt CD tại F. Chứng minh: O, E, F thẳng hàng.
Bài 4: Cho hình thang ABCD vuông tại A và B, M là trung điểm AB. Đường thẳng qua A vuông góc với MD cắt đường thẳng qua B vuông góc với MC tại N. Chứng minh rằng: MN vuông góc CD.
Câu 1a thì được nè :v
( 3x + 1)( 4x + 1)( 6x + 1)( 12x + 1) = 2
⇔ 4( 3x + 1)3( 4x + 1)2( 6x + 1)( 12x + 1) = 2.4.3.2
⇔ ( 12x + 4)( 12x + 3)( 12x + 2)( 12x + 1) =48 ( 1)
Đặt : 12x + 1 = a , ta có :
( 1) ⇔ a( a+ 1)( a + 2)( a + 3) = 48
⇔ ( a2 + 3a)( a2 + 3a +2) = 48
Đặt : a3 + 3a = t , ta có :
t( t +2) =48
⇔ t2 + 2t - 48 = 0
⇔ t2 - 6t + 8t - 48 = 0
⇔ t( t - 6) + 8( t - 6) = 0
⇔ ( t - 6)( t + 8) = 0
⇔ t = 6 hoặc t = -8
Tự thế vào mà tìm a sau đó suy ra x nha
Bài 1:
b)
HPT \(\left\{\begin{matrix} x^2+\frac{1}{y^2}+\frac{4x}{y}=2\\ 2\left(x+\frac{1}{y}\right)+\frac{x}{y}=3\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \left(x+\frac{1}{y}\right)^2+\frac{2x}{y}=2\\ 2\left(x+\frac{1}{y}\right)+\frac{x}{y}=3\end{matrix}\right.\)
Lấy PT(1) trừ 2PT(2) thu được:
\(\left(x+\frac{1}{y}\right)^2-4\left(x+\frac{1}{y}\right)=-4\)
\(\Leftrightarrow \left(x+\frac{1}{y}-2\right)^2=0\Rightarrow x+\frac{1}{y}=2\)
Thay vào thu được \(\frac{x}{y}=-1\)
Theo định lý Viete đảo thì \((x,\frac{1}{y})\) là nghiệm của PT:
\(X^2-2X-1=0\)
\(\Rightarrow (x,\frac{1}{y})=(1+\sqrt{2}; 1-\sqrt{2})\) hoặc \((1-\sqrt{2}; 1+\sqrt{2})\)
Tức là: \((x,y)=(1+\sqrt{2}, -1-\sqrt{2}); (1-\sqrt{2}; -1+\sqrt{2})\)
Bài 1c:
ĐK: \(x\leq 2\)
Ta có: \((x^2-9)\sqrt{2-x}=x(x^2-9)\)
\(\Leftrightarrow (x^2-9)(\sqrt{2-x}-x)=0\)
\(\Rightarrow \left[\begin{matrix} x^2=9(1)\\ \sqrt{2-x}=x(2)\end{matrix}\right.\)
Với (1) thì suy ra \(x=\pm 3\), kết hợp đkxđ suy ra \(x=-3\)
Với (2) suy ra \(x\geq 0\). Bình phương hai vế:
\(2-x=x^2\Leftrightarrow x^2+x-2=0\Leftrightarrow x=1; x=-2\)
Kết hợp với \(x\geq 0\Rightarrow x=1\)
Vậy .............
