Question

B1: giai pt: a, \(\dfrac{\left(x+1\right)^4}{\left(x^2+1\right)^2}+\dfrac{4x}{x^2+1}=6\)

B2: Tính giá trị của A= \(\dfrac{x^2-\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1}-\dfrac{x^2+\sqrt{x}}{x-\sqrt{x}+1}+x+1\)

B3: CMR voi 3 số thực a,b,c tùy ý thì ít nhất 1 trong 3 pt sau phải có nghiệm:

\(x^2-2ax+2b-1=0\left(1\right);x^2-2bx+2c-1=0\left(2\right);x^2-2cx+2a-1=0\left(3\right)\)

Answer 1

Bài 1:
\(\frac{(x+1)^4}{(x^2+1)^2}+\frac{4x}{x^2+1}=6\)

\(\Leftrightarrow \frac{(x+1)^4+4x(x^2+1)}{(x^2+1)^2}=6\)

\(\Leftrightarrow \frac{x^4+8x^3+6x^2+8x+1}{(x^2+1)^2}=6\Rightarrow x^4+8x^3+6x^2+8x+1=6(x^2+1)^2\)

\(\Leftrightarrow x^4+8x^3+6x^2+8x+1=6(x^4+2x^2+1)\)

\(\Leftrightarrow 5x^4-8x^3+6x^2-8x+5=0\)

\(\Leftrightarrow 5x^3(x-1)-3x^2(x-1)+3x(x-1)-5(x-1)=0\)

\(\Leftrightarrow (x-1)(5x^3-3x^2+3x-5)=0\)

\(\Leftrightarrow (x-1)[5(x-1)(x^2+x+1)-3x(x-1)]=0\)

\(\Leftrightarrow (x-1)^2(5x^2+2x+5)=0\)

Dễ thấy \(5x^2+2x+5>0\), do đó \((x-1)^2=0\Leftrightarrow x=1\)

Answer 2

Bài 2: ĐK: \(x\geq 0\)

\(A=\frac{x^2-\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1}-\frac{x^2+\sqrt{x}}{x-\sqrt{x}+1}+x+1\)

\(A=\frac{\sqrt{x}(\sqrt{x^3}-1)}{x+\sqrt{x}+1}-\frac{\sqrt{x}(\sqrt{x^3}+1)}{x-\sqrt{x}+1}+x+1\)

\(A=\frac{\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)(x+\sqrt{x}+1)}{x+\sqrt{x}+1}-\frac{\sqrt{x}(\sqrt{x}+1)(x-\sqrt{x}+1)}{x-\sqrt{x}+1}+x+1\)

\(A=\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)-\sqrt{x}(\sqrt{x}+1)+x+1\)

\(A=x-2\sqrt{x}+1=(\sqrt{x}-1)^2\)

Answer 3

Bài 3:

Ta có:

\(\Delta'_1=a^2-(2b-1)=a^2-2b+1\)

\(\Delta'_2=b^2-(2c-1)=b^2-2c+1\)

\(\Delta'_3=c^2-(2a-1)=c^2-2a+1\)

Do đó:

\(\Delta'_1+\Delta'_2+\Delta'_3=a^2-2b+1+b^2-2c+1+c^2-2a+1\)

\(=(a-1)^2+(b-1)^2+(c-1)^2\geq 0,\forall a,b,c\in\mathbb{R}\)

Suy ra ít nhất một trong ba số \(\Delta'_1; \Delta'_2; \Delta'_3\geq 0\) vì nếu tất cả đều âm thì tổng của chúng âm( mâu thuẫn)

Điều đó đồng nghĩa với việc ít nhất một trong 3 phương trình đã cho có nghiệm.

Answer 4

@Akai Haruma @Ace Legona @Ace legona giúp dùm vs ạ