Bài 1: Giải các phương trình, hệ phương trình sau:
a) \((3x+1)(4x+1)(6x+1)(12x+1)=2\)
b) \(\begin{cases} x(x+\dfrac{4}{y})+\dfrac{1}{y^2}=2 \\ x(2+\dfrac{1}{y})+\dfrac{2}{y}=3 \end{cases}\)
c) \((x^2-9)\sqrt{2-x}=x(x^2-9)\)
d) \(\begin{cases} (x^2+4y^2)^2-4(x^2+4y^2)=5\\ 3x^2+2y^2=5 \end{cases}\)
e) \(\sqrt{2x-1}+\sqrt{1-2x^2}=2 \sqrt{x-x^2}\)
f) \(\dfrac{9}{x^2}+\dfrac{2x}{\sqrt{2x^2+9}}-1=0\)
Bài 2: a) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: \(3x^2-2y^2-5xy+x-2y-7=0\)
b) Cho các số thực a, b thỏa mãn căn bậc \(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b} =\sqrt[3]{b-\dfrac{1}{4}}\). CMR: \(-1< a <0\)
c) Tìm số nguyên a, b, c thỏa: \(a+b+c=0\), \(ab+bc+ca=3\)
d) Với k là số nguyên dương, chứng minh rằng không tồn tại các số nguyên a,b,c khác 0 sao cho \(a+b+c=0\), \(ab+bc+ca+2^k=0 \)
Bài 3: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O. Đường thẳng vuông góc với AD tại A cắt BC tại E. Đường thẳng vuông góc với AB tại A cắt CD tại F. Chứng minh: O, E, F thẳng hàng.
Bài 4: Cho hình thang ABCD vuông tại A và B, M là trung điểm AB. Đường thẳng qua A vuông góc với MD cắt đường thẳng qua B vuông góc với MC tại N. Chứng minh rằng: MN vuông góc CD.
Câu 1a thì được nè :v
( 3x + 1)( 4x + 1)( 6x + 1)( 12x + 1) = 2
⇔ 4( 3x + 1)3( 4x + 1)2( 6x + 1)( 12x + 1) = 2.4.3.2
⇔ ( 12x + 4)( 12x + 3)( 12x + 2)( 12x + 1) =48 ( 1)
Đặt : 12x + 1 = a , ta có :
( 1) ⇔ a( a+ 1)( a + 2)( a + 3) = 48
⇔ ( a2 + 3a)( a2 + 3a +2) = 48
Đặt : a3 + 3a = t , ta có :
t( t +2) =48
⇔ t2 + 2t - 48 = 0
⇔ t2 - 6t + 8t - 48 = 0
⇔ t( t - 6) + 8( t - 6) = 0
⇔ ( t - 6)( t + 8) = 0
⇔ t = 6 hoặc t = -8
Tự thế vào mà tìm a sau đó suy ra x nha
Bài 1:
b)
HPT \(\left\{\begin{matrix} x^2+\frac{1}{y^2}+\frac{4x}{y}=2\\ 2\left(x+\frac{1}{y}\right)+\frac{x}{y}=3\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \left(x+\frac{1}{y}\right)^2+\frac{2x}{y}=2\\ 2\left(x+\frac{1}{y}\right)+\frac{x}{y}=3\end{matrix}\right.\)
Lấy PT(1) trừ 2PT(2) thu được:
\(\left(x+\frac{1}{y}\right)^2-4\left(x+\frac{1}{y}\right)=-4\)
\(\Leftrightarrow \left(x+\frac{1}{y}-2\right)^2=0\Rightarrow x+\frac{1}{y}=2\)
Thay vào thu được \(\frac{x}{y}=-1\)
Theo định lý Viete đảo thì \((x,\frac{1}{y})\) là nghiệm của PT:
\(X^2-2X-1=0\)
\(\Rightarrow (x,\frac{1}{y})=(1+\sqrt{2}; 1-\sqrt{2})\) hoặc \((1-\sqrt{2}; 1+\sqrt{2})\)
Tức là: \((x,y)=(1+\sqrt{2}, -1-\sqrt{2}); (1-\sqrt{2}; -1+\sqrt{2})\)
Bài 1c:
ĐK: \(x\leq 2\)
Ta có: \((x^2-9)\sqrt{2-x}=x(x^2-9)\)
\(\Leftrightarrow (x^2-9)(\sqrt{2-x}-x)=0\)
\(\Rightarrow \left[\begin{matrix} x^2=9(1)\\ \sqrt{2-x}=x(2)\end{matrix}\right.\)
Với (1) thì suy ra \(x=\pm 3\), kết hợp đkxđ suy ra \(x=-3\)
Với (2) suy ra \(x\geq 0\). Bình phương hai vế:
\(2-x=x^2\Leftrightarrow x^2+x-2=0\Leftrightarrow x=1; x=-2\)
Kết hợp với \(x\geq 0\Rightarrow x=1\)
Vậy .............
Bài 1d:
HPT \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (x^2+4y^2)^2-4(x^2+4y^2)-5=0\\ 3x^2+2y^2=5\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (x^2+4y^2-5)(x^2+4y^2+1)=0\\ 3x^2+2y^2=5\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x^2+4y^2=5\\ 3x^2+2y^2=5\end{matrix}\right.\) (do \(x^2+4y^2\geq 0\) )
\(\Leftrightarrow (x^2+4y^2)-(3x^2+2y^2)=0\Leftrightarrow x^2=y^2\)
Do đó \(x^2=y^2=1\Rightarrow (x,y)=(-1;-1);(1;1);(-1;1);(1;-1)\)
e)
ĐK:......
Đặt \(\sqrt{2x-1}=a; \sqrt{1-2x^2}=b(a,b\geq 0)\)
PT trở thành:
\(a+b=2\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}\)
\(\Rightarrow (a+b)^2=2(a^2+b^2)\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2=2ab\Leftrightarrow (a-b)^2=0\Rightarrow a=b\)
\(\Leftrightarrow \sqrt{2x-1}=\sqrt{1-2x^2}\)
\(\Leftrightarrow 2x-1=1-2x^2\)
\(\Leftrightarrow x^2+x-1=0\)
\(\Rightarrow x=\frac{-1\pm \sqrt{5}}{2}\)
Kết hợp đkxđ suy ra \(x=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\)
Bài 2a:
\(3x^2-2y^2-5xy+x-2y-7=0\)
\(\Leftrightarrow 3x^2+x(1-5y)-(2y^2+2y+7)=0\)
Coi đây là pt bậc 2 ẩn x . Khi đó:
\(\Delta=(1-5y)^2+12(2y^2+2y+7)\)
\(=49y^2+14y+85\)
Để pt có nghiệm nguyên thì delta phải là số chính phương. Đặt
\(49y^2+14y+85=t^2(t\in\mathbb{Z})\)
\(\Leftrightarrow (7y+1)^2+84=t^2\)
\(\Leftrightarrow 84=(t-7y-1)(t+7y+1)\)
Đây là dạng phương trình tích đơn giản. Kết hợp $t-7y-1,t+7y+1$ cùng tính chẵn lẻ ta dễ dàng tìm được: \(y=-3\)
Khi đó thay vào pt ban đầu thu được \(3x^2+16x-19=0\)
\(\Leftrightarrow (x-1)(3x+19)=0\)
\(\Leftrightarrow x=1\) (do x là số nguyên)
Vậy \((x,y)=(1,-3)\)
Bài 2b:
Ta có \(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}=\sqrt[3]{b-\frac{1}{4}}\)
\(\Leftrightarrow \sqrt[3]{a}=\sqrt[3]{b-\frac{1}{4}}-\sqrt[3]{b}\)
Vì \(b-\frac{1}{4}< b\Rightarrow \sqrt[3]{b-\frac{1}{4}}< \sqrt[3]{b}\)
Do đó: \(\sqrt[3]{a}=\sqrt[3]{b-\frac{1}{4}}-\sqrt[3]{b}< 0\Rightarrow a< 0\)
Mặt khác:
Đặt \(\sqrt[3]{b}=x; \sqrt[3]{b-\frac{1}{4}}=y\)
Khi đó: \(\sqrt[3]{a}=y-x\). Để cm \(a\geq-1\) ta cần cm \(y-x\geq -1\)
\(\Leftrightarrow y+1\geq x\Leftrightarrow (y+1)^3\geq x^3\)
\(\Leftrightarrow y^3+3y^2+3y+1-x^3\geq 0\)
\(\Leftrightarrow -\frac{1}{4}+3y^2+3y+1\geq 0\Leftrightarrow 3(y+\frac{1}{2})^2\geq0\)
(luôn đúng)
Do đó ta có đpcm.
Bài 2c:
Ta thấy: \(a+b+c=0\Rightarrow (a+b+c)^2=0\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ac)=0\)
Thay $ab+bc+ac=3$ ta có:
\(a^2+b^2+c^2+2.3=0\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2=-6\)
Điều này hoàn toàn vô lý do \(a^2; b^2; c^2\geq 0, \forall a,b,c\in\mathbb{R}\)
Do đó không tồn tại $a,b,c$ thỏa mãn
Bài 2d:
Ta thấy \(\left\{\begin{matrix} a+b+c=0\\ ab+bc+ac=-2^k\end{matrix}\right.\Rightarrow a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+bc+ac)\)
\(=0-2.(-2^k)\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2=2^{k+1}\)
Vì $a+b+c$ chẵn nên chỉ có 2 TH xảy ra: một là $a,b,c$ đều chẵn hoặc trong 3 số tồn tại 2 số lẻ, 1 số chẵn
TH1: Không mất tổng quát giả sử $a,b$ lẻ, $c$ chẵn . Đặt \(a=2x+1; b=2y+1; c=2z\)
\(\Rightarrow 2^{k+1}=a^2+b^2+c^2=(2x+1)^2+(2y+1)^2+(2z)^2\)
\(\Rightarrow 2^k=2(x^2+y^2+z^2+x+y)+1\) (vô lý) vì với mọi $k$ nguyên dương thì vế trái luôn chẵn.
TH2: $a,b,c$ đều chẵn.
Gọi $2^t$ là ước chung có dạng lũy thừa cơ số 2 lớn nhất của $a,b,c$
Khi đó đặt \(a=2^t.m, b=2^t.n, c=2^t.p\). Theo tính chất đã nêu của $2^t$ thì bắt buộc một trong 3 số $m,n,p$ phải lẻ $(*)$
Ta có:
\(0=a+b+c=2^t(m+n+p)\Rightarrow m+n+p=0(**)\)
\(a^2+b^2+c^2=2^{2t}m^2+2^{2t}n^2+2^{2t}p^2=2^{k+1}\)
\(\Leftrightarrow m^2+n^2+p^2=2^{k+1-2t}(***)\)
Vì $m,n,p$ là các số nguyên khác 0 nên \(2^{k+1-2t}\geq 3\Rightarrow k+1-2t\geq 2\). Từ đây kết hợp với $(*);(**);(***)$ ta xét giống y hệt trường hợp 1, suy ra không tồn tại $m,n,p$ thỏa mãn, kéo theo không tồn tại $a,b,c$ thỏa mãn
Vậy tóm lại không tồn tại $a,b,c$
Form đề này cảm giác là đề thi thử trường chuyên :D Nhưng nếu trường nào ra cái đề dài thế này thì cũng nhọc
1f)
Ta có: \(\frac{9}{x^2}+\frac{2x}{\sqrt{2x^2+9}}-1=0\)
\(\Leftrightarrow \frac{9}{x^2}+2+\frac{2x}{\sqrt{2x^2+9}}=3\)
\(\Leftrightarrow \frac{2x^2+9}{x^2}+\frac{2x}{\sqrt{2x^2+9}}=3\)
Đặt \(\frac{x}{\sqrt{2x^2+9}}=t\). PT trở thành:
\(\frac{1}{t^2}+2t=3\)
\(\Leftrightarrow 2t^3-3t^2+1=0\)
\(\Leftrightarrow 2t^2(t-1)-(t-1)(t+1)=0\)
\(\Leftrightarrow (t-1)(2t^2-t-1)=0\)
\(\Leftrightarrow (t-1)^2(2t+1)=0\)
\(\Rightarrow \left[\begin{matrix} t=1(1)\\ t=-\frac{1}{2}(2)\end{matrix}\right.\)
Với (1) suy ra \(\frac{x}{\sqrt{2x^2+9}}=1\Rightarrow x^2=2x^2+9\) (vl)
Với (2) \(\frac{x}{\sqrt{2x^2+9}}=-\frac{1}{2}\Rightarrow -2x=\sqrt{2x^2+9}\)
\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x\leq 0\\ 4x^2=2x^2+9\end{matrix}\right.\Rightarrow x\leq 0; x^2=\frac{9}{2}\)
\(\Rightarrow x=\frac{-3}{\sqrt{2}}\)
