Violympic toán 9

\(VT\le\dfrac{1+\dfrac{1}{4}\left(4+1+x^2\right)}{x}+\dfrac{1+\dfrac{1}{4}\left(4+1+y^2\right)}{y}+\dfrac{1+\dfrac{1}{4}\left(4+1+z^2\right)}{z}\)

\(VT\le\dfrac{9}{4}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)+\dfrac{1}{4}\left(x+y+z\right)\)

\(VT\le\dfrac{9}{4}\left(\dfrac{xy+yz+zx}{xyz}\right)+\dfrac{1}{4}xyz\le\dfrac{3}{4}.\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{xyz}+\dfrac{1}{4}xyz=\dfrac{3}{4}.\dfrac{\left(xyz\right)^2}{xyz}+\dfrac{1}{4}xyz=xyz\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\sqrt{3}\)

Giả thiết là một cú lừa tình:D

Đặt \(x=\dfrac{1}{a},y=\dfrac{1}{b},z=\dfrac{1}{c}\Rightarrow ab+bc+ca=1.\)

Cần chứng minh: \(abc\left(\sum a+\sum\sqrt{a^2+1}\right)\le1\)

Ta có: \(abc\left(\sum a+\sum\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}\right)\le abc\left(\sum a+\sum\dfrac{\left(a+b\right)+\left(a+c\right)}{2}\right)\)

\(=3abc\left(a+b+c\right)\le\left(ab+bc+ca\right)^2=1.\)

Đẳng thức xảy ra khi (tự tìm).

Hoàn tất chứng minh.                                                                                                  \(\square\)

a. Giả sử phương trình đường thẳng đi qua gốc tọa độ và đi qua A(3;1) là y=ax \(\Rightarrow1=3a\Rightarrow a=\dfrac{1}{3}\) ⇒ \(y=\dfrac{1}{3}x\) ⇒ hệ số góc của đường thẳng đó là \(\dfrac{1}{3}\)

b. Giả sử phương trình đường thẳng đi qua gốc tọa độ và đi qua B(1;-3) là y=a'x \(\Rightarrow-3=a\Rightarrow a=-3\) ⇒y=-3x ⇒ hệ số góc của đường thẳng đó là -3

Cho hỏi về C11. Phép lật mặt là gì vậy ạ :v

a) ta có a=\(\dfrac{yA-yB}{xA-xB}\) ⇒ hệ số góc đường thẳng qua gốc toạ độ và A(3,1) là a=\(\dfrac{1-0}{3-0}\)=\(\dfrac{1}{3}\)

b)tương tự a=\(\dfrac{-3-0}{1-0}=-3\)

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương:

\(y+2\ge\left(2-x\right)\left(2-z\right)\left(2-y\right)\).

Theo bất đẳng thức AM - GM: \(\left(2-x\right)\left(2-z\right)\le\dfrac{\left(4-x-z\right)^2}{4}=\dfrac{\left(2-y\right)^2}{4}\).

Do đó ta chỉ cần chứng minh:

\(y+2\ge\dfrac{\left(2-y\right)^3}{4}\).

Mặt khác, bđt trên tương đương: \(\dfrac{y\left[\left(y-3\right)^2+7\right]}{4}\ge0\) (luôn đúng).

Do đó bđt ban đầu cũng đúng.

Đẳng thức xảy ra khi y = 0; x = z = 1.