Cho x,y,z >0 t/m x+y+z=xyz. C/m \(\dfrac{1+\sqrt{1+x^2}}{x}+\dfrac{1+\sqrt{1+y^2}}{y}+\dfrac{1+\sqrt{1+z^2}}{z}\le xyz\)
\(VT\le\dfrac{1+\dfrac{1}{4}\left(4+1+x^2\right)}{x}+\dfrac{1+\dfrac{1}{4}\left(4+1+y^2\right)}{y}+\dfrac{1+\dfrac{1}{4}\left(4+1+z^2\right)}{z}\)
\(VT\le\dfrac{9}{4}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)+\dfrac{1}{4}\left(x+y+z\right)\)
\(VT\le\dfrac{9}{4}\left(\dfrac{xy+yz+zx}{xyz}\right)+\dfrac{1}{4}xyz\le\dfrac{3}{4}.\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{xyz}+\dfrac{1}{4}xyz=\dfrac{3}{4}.\dfrac{\left(xyz\right)^2}{xyz}+\dfrac{1}{4}xyz=xyz\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\sqrt{3}\)
Giả thiết là một cú lừa tình:D
Đặt \(x=\dfrac{1}{a},y=\dfrac{1}{b},z=\dfrac{1}{c}\Rightarrow ab+bc+ca=1.\)
Cần chứng minh: \(abc\left(\sum a+\sum\sqrt{a^2+1}\right)\le1\)
Ta có: \(abc\left(\sum a+\sum\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}\right)\le abc\left(\sum a+\sum\dfrac{\left(a+b\right)+\left(a+c\right)}{2}\right)\)
\(=3abc\left(a+b+c\right)\le\left(ab+bc+ca\right)^2=1.\)
Đẳng thức xảy ra khi (tự tìm).
Hoàn tất chứng minh. \(\square\)
a. Giả sử phương trình đường thẳng đi qua gốc tọa độ và đi qua A(3;1) là y=ax \(\Rightarrow1=3a\Rightarrow a=\dfrac{1}{3}\) ⇒ \(y=\dfrac{1}{3}x\) ⇒ hệ số góc của đường thẳng đó là \(\dfrac{1}{3}\)
b. Giả sử phương trình đường thẳng đi qua gốc tọa độ và đi qua B(1;-3) là y=a'x \(\Rightarrow-3=a\Rightarrow a=-3\) ⇒y=-3x ⇒ hệ số góc của đường thẳng đó là -3
Nếu bạn muốn đề xuất câu hỏi xuất hiện trong chuyên mục này các bạn hãy gửi qua form:
[Tiền sự kiện 1] Thử sức trí tuệ - Google Biểu mẫu
Hi vọng chuyên mục đầu tiên của chuỗi cuộc thi sẽ mang lại niềm vui và trải nghiệm thú vị cho các bạn. Những câu hỏi được chọn sẽ khả năng cao được đưa lên chuyên mục Câu hỏi hay.
*Lưu ý mình sẽ duyệt những câu hỏi đạt đến độ khó nhất định, để cả cộng đồng cùng giải. Những bài toán chưa được duyệt nhưng các bạn chưa có lời giải, các bạn hãy gửi trực tiếp câu hỏi lên Hoc24 nhé!
-------------------------------------------------------------------
[Toán.C10 _ 14.1.2021]
Người biên soạn câu hỏi: Bách Khoa Huỳnh
Cho một đa giác đều 12 cạnh. Hỏi có bao nhiêu cách tô màu cách đỉnh của đa giác đó bằng ba màu đỏ, xanh, vàng. Biết rằng hai cách tô được gọi là giống nhau nếu như tồn tại một phép quay hoặc tồn tại một phép lật mặt đa giác biến đa giác này thành đa giác kia.
[Toán.C11 _ 14.1.2021]
Người biên soạn câu hỏi: Trần Minh Hoàng
Cho a, b là số đo các góc nhọn thỏa mãn tan a =\(\dfrac{1}{2}\) và tan b = \(\dfrac{1}{3}\). Chứng minh a + b = \(45^o\).
------------------------------------------------------------------
Like và follow fanpage để cập nhật những tin tức mới nhất về cuộc thi nha :>
a) ta có a=\(\dfrac{yA-yB}{xA-xB}\) ⇒ hệ số góc đường thẳng qua gốc toạ độ và A(3,1) là a=\(\dfrac{1-0}{3-0}\)=\(\dfrac{1}{3}\)
b)tương tự a=\(\dfrac{-3-0}{1-0}=-3\)
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương:
\(y+2\ge\left(2-x\right)\left(2-z\right)\left(2-y\right)\).
Theo bất đẳng thức AM - GM: \(\left(2-x\right)\left(2-z\right)\le\dfrac{\left(4-x-z\right)^2}{4}=\dfrac{\left(2-y\right)^2}{4}\).
Do đó ta chỉ cần chứng minh:
\(y+2\ge\dfrac{\left(2-y\right)^3}{4}\).
Mặt khác, bđt trên tương đương: \(\dfrac{y\left[\left(y-3\right)^2+7\right]}{4}\ge0\) (luôn đúng).
Do đó bđt ban đầu cũng đúng.
Đẳng thức xảy ra khi y = 0; x = z = 1.