Violympic toán 9

\(A=x^3+y^3+z^3+kxyz\)

Thực hiện phép chia ta được

\(A=\left(x^3+y^3+z^3+kxyz\right)\div\left(x+y+z\right)\)

\(A=\left(x+y+z\right)\left[x^2+y^2+z^2-xy-xz-yz-yz\left(k+2\right)\right]-yz\left(x+z\right)\left(k+3\right)\)

Để phép chia hết thì: \(yz\left(x+z\right)\left(k+3\right)=0\)

Suy ra:
Suy ra: \(k=3\)

k = -3

Xin lỗi đáp án là âm 3, mình biết bị thíu

Ta có: \(M=a^3+b^3+c\left(a^2+b^2\right)-abc\)

\(M=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)+c\left(a^2+b^2-ab\right)\)

\(M=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2-ab\right)\)

\(M=0.\left(a^2+b^2-ab\right)\)

\(M=0\)

Vậy \(M=0\)

a)
ta có SA= SB(t/c tiếp tuyến cắt nhau)
nên tam giác SAB cân ở S
do đó SO vừa là phân giác vừa là đường cao nên SO vuông góc AB
I là trung điểm của MN nên OI vuông góc MN
do đó góc SHE=SIE = 90 độ
hai điểm H và I cùng nhìn đoạn SE dưới 1 góc vuông nên tứ giác IHSE nội tiếp

b) SOI đồng dạng với EOH vì có O chung
$\widehat{SHE}=\widehat{SIE}$ =90 độ chứng minh trên
suy ra $\dfrac{OI}{OH}$ = $\dfrac{OS}{OE}$
mà OH.OS = OB^2 = R^2(hệ thức lượng trong tam giác vuông SOB
nên OI.OE=R^2 (DPCM)

Ta có:

\(x^3+\left(x-1\right)^3=\left(2x-1\right)^3\)

Áp dụng hằng đẳng thức, ta có:

\(\left(x+x-1\right)\left(x^2-x^2-x+x^2-2x+1\right)=\left(2x-1\right)\left(x^2-3x+1\right)=\left(2x-1\right)^3\)

\(x^2-3x+1=\left(2x-1\right)^2=4x^2-4x+1\)

\(3x^2-x=0\)

\(x=0\) hoặc \(x=\frac{1}{3}\)

cách 2:

\(x^3+\left(x-1\right)^3=\left(2x-1\right)^3\)

\(\Leftrightarrow\left[x+\left(x-1\right)\right]^3-3x\left(x-1\right)\left[x+\left(x-1\right)\right]=\left(2x-1\right)^3\)(a³ + b³ = (a + b)³ - 3ab(a+b))

\(\Leftrightarrow\left(2x-1\right)^3-3x\left(x-1\right)\left(2x-1\right)=\left(2x-1\right)^3\)

\(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x=0\\x=1\\x=\frac{1}{2}\end{array}\right.\)

Ta có:

\(x^4+4=\left(x^4+4x^2+4\right)-4x^2\)

=\(\left(x^2+2\right)^2-\left(2x\right)^2=\left(x^2+2x+2\right)\left(x^2-2x+2\right)\)

=> \(x^4+4\) chia hết cho \(x^2+2x+a\) khi \(\left(x^2+2x+2\right)\left(x^2-2x+2\right)⋮\left(x^2+2x+a\right)\)

=> a = 2.

Để pt có nghiệm thì \(\Delta'=4-\left(m^2+3m\right)=-m^2-3m+4\ge0\)

\(\Leftrightarrow-4\le x\le1\)

Gọi \(x_1,x_2\) là hai nghiệm của pt đã cho thì theo Vi-et :

\(\begin{cases}x_1+x_2=4\\x_1x_2=m^2+3m\end{cases}\)

Ta có : \(x_1^2+x_2=6\Leftrightarrow x_1^2+x_1+x_2=6+x_1\Leftrightarrow x_1^2+4=6+x_1\Leftrightarrow x_1^2-x_1-2=0\)

\(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x_1=-1\\x_1=2\end{array}\right.\)

Nếu \(x_1=-1\) thì \(x_2=5\) \(\Rightarrow x_1x_2=-5\)

Từ Viet suy ra \(m^2+3m=-5\) (vô nghiệm)

Trường hợp còn lại tương tự.

761

761

: ) Toán lớp 2 ak.

\(A=\left(1-\frac{1}{x^2}\right)\left(1-\frac{1}{y^2}\right)\)

\(=\left(1-\frac{\left(x+y\right)^2}{x^2}\right)\left(1-\frac{\left(x+y\right)^2}{y^2}\right)\\ =...\)

\(=\frac{-2xy-y^2}{x^2}.\frac{-2xy-x^2}{y^2}\)

\(=\frac{-y\left(2x+y\right)}{x^2}.\frac{-x\left(2x+x\right)}{y^2}\)

\(=\frac{\left(2x+y\right)\left(2y+x\right)}{xy}\)

\(=\frac{\left(x+x+y\right)\left(y+y+x\right)}{xy}\)

\(_{\ge}^{AM-GM}\frac{3\sqrt[3]{x.x.y}.3\sqrt[3]{y.y.x}}{xy}\)

\(=\frac{9xy}{xy}=9\)

Vậy \(A_{min}=9\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}\)

hay

Câu 1: 

\(\Leftrightarrow10x^2-15x+8x-12+a+12⋮2x-3\)

=>a+12=0

hay a=-12

Câu 2; 

Để A là số nguyên thì \(\left(x+2\right)⋮x^2+4\)

\(\Leftrightarrow x^2-4⋮x^2+4\)

\(\Leftrightarrow x^2+4-8⋮x^2+4\)

\(\Leftrightarrow x^2+4\in\left\{4;8\right\}\)

hay \(x\in\left\{0;2;-2\right\}\)