Violympic toán 8

\(\left(a+b\right)>=2\sqrt{ab}\)

\(\left(b+c\right)>=2\sqrt{bc}\)

\(c+a>=2\sqrt{ac}\)

=>(a+b+c)>=8abc

Dấu = xảy ra khi a=b và b=c và c=a

=>a=b=c

a)\(\dfrac{xy^3-yx^3}{x^2+xy}=\dfrac{xy\left(y^2-x^2\right)}{x\left(x+y\right)}=\dfrac{y\left(y+x\right)\left(y-x\right)}{x+y}=y\left(y-x\right)\)

b)\(\dfrac{x^5-1}{x^4+x^3+x^2+x+1}=\dfrac{\left(x-1\right)\left(x^4+x^3+x^2+x+1\right)}{x^4+x^3+x^2+x+1}=x-1\)

Lời giải:

Ta có:

\(x^3+x^2z+y^2z-xyz+y^3=(x^3+y^3)+(x^2z+y^2z-xyz)\)

\(=(x+y)(x^2-xy+y^2)+z(x^2+y^2-xy)\)

\(=(x^2-xy+y^2)(x+y+z)=(x^2-xy+y^2).0=0\)

Ta có đpcm.

a: \(=\left(328+172\right)\left(328^2+328\cdot172+172^2\right)\)

\(=5000\cdot4\left(26896+328\cdot43+7396\right)⋮20000\)

b: \(=69\left(69-5\right)=69\cdot64⋮32\)

sai đề rồi bạn ơi:n^5+n=n(n^4+1)

VD:n=3 thay vào có 3(3^4+1)=246 ko chia hết 10

Sửa đề: n^5-n chiahết cho 10

Vì 5 là số nguyên tố nên n^5-n chia hết cho 5(1)

n^5-n=n(n^4-1)=n(n^2-1)(n^2+1)

=n(n-1)(n+1)(n^2+1)

Vì n và n-1 là hai số liên tiếp

nên n(n-1) chia hết cho 2

=>n^5-n chia hết cho 2

=>n^5-n chia hết cho 10

Kẻ \(EI\perp AH\), \(EK\perp BC\)

Tam giác BKE vuông tại K, đường trung tuyến KM

=> KM = BK = KE

Tam giác ABE vuông tại A, đường trung tuyến AM

=> AM = BM = ME

=> AM = KM

+ Δ AIE = Δ BHA ( cạnh huyền - góc nhọn )

=> IE = AH

+ IH // EK , IE // HK

=> IE = HK => HK = AH

+ Δ AHM = Δ KHM ( c.c.c )

=> \(\widehat{AHM}=\widehat{KHM}\)

=> HM là tia phân giác của góc AHC

\(A=\left(a+b\right)^3-3ab\left(a+b\right)+c\left[\left(a+b\right)^2-2ab\right]-abc\)

\(=\left(-c\right)^3-3ab\left(-c\right)+c\left[\left(-c\right)^2-2ab\right]-abc\)

\(=-c^3+3abc+c^3-2abc-abc=0\)