Bài 11: Số vô tỉ. Khái niệm về căn bậc hai

a. \(\sqrt{35}+\sqrt{99}< \sqrt{36}+\sqrt{100}=6+10=16\)

\(\Rightarrow\sqrt{35}+\sqrt{99}< 16\)

b. \(\sqrt{24}< \sqrt{25}=5\)

\(\sqrt{5}+\sqrt{10}>\sqrt{4}+\sqrt{9}=2+3=5\)

\(\Rightarrow\sqrt{24}< \sqrt{5}+\sqrt{10}\)

Ta có :

Để E nhỏ nhất thì :

√x nhỏ nhất ⇒√x = 0

Khi đó thì E = -3 và x = 0

Vậy MinE = -3 ⇔ x = 0

Ta thấy \(\sqrt{x}\ge0\Rightarrow\sqrt{x}-3\ge-3\)

Để E đạt GTNN thì \(E=-3\)

Mà \(E=-3\Leftrightarrow\sqrt{x}=0\Leftrightarrow x=0\)

Vậy để E đạt GTNN thì x = 0

Giải thích: \(\left(\sqrt{3}\right)^2=3\)

Ta có: \(\sqrt{3}\approx1,7\)

\(\left(\sqrt{3}\right)^2\approx1,7^2=2,89\)

\(=>\left(\sqrt{3}\right)^2=3\approx2,89\)

a)\(\sqrt{x}=4\Leftrightarrow x=4^2\Leftrightarrow x=16\)

b)\(\sqrt{x-2}=3\Leftrightarrow x-2=3^2\Leftrightarrow x=9-2=7\)

c)\(\sqrt{\dfrac{x}{3}-\dfrac{7}{6}}=\dfrac{1}{6}\Leftrightarrow\dfrac{x}{3}-\dfrac{7}{6}=\dfrac{1}{36}\Leftrightarrow\dfrac{x}{3}=-\dfrac{41}{36}\Leftrightarrow x=-\dfrac{41}{12}\)

d)\(x^2=7vớix< 0\)

\(\Leftrightarrow\left(-x\right)^2=7\Leftrightarrow-x=\sqrt{7}\Leftrightarrow x=-\sqrt{7}\)

e)\(x^2-4=0với>0\)

\(\Leftrightarrow x^2=4\Leftrightarrow x=\sqrt{4}=2\)

f)\(\left(2x+7\sqrt{7}\right)^2=7\)

\(\Leftrightarrow4x^2+\sqrt{5488}+343=7\)

\(\Leftrightarrow4x^2+\sqrt{5488}=-336\)

\(\Leftrightarrow4x^2=28\left(12-\sqrt{7}\right)\Leftrightarrow x^2=\dfrac{28\left(12-\sqrt{7}\right)}{4}=7\left(12-\sqrt{7}\right)\)

\(\Leftrightarrow x=\sqrt{7\left(12-\sqrt{7}\right)}=\sqrt{84-7\sqrt{7}}\)

a) \(\sqrt{x}=4\Rightarrow x=16\)

b) \(\sqrt{x-2}-3\\ \Rightarrow x-2=9\\ \Rightarrow x=11\)

c) \(x^2=7\\ \Rightarrow x=\pm\sqrt{7}\\ Vớix< 0\Rightarrow x=-\sqrt{7}\)

d) \(x^2-4=0\\\Rightarrow x=\pm2\\ Vớix>0\Rightarrow x=2 \)

1/(n + 1) + 1/(n + 2) + ... + 1/(2n - 2) + 1/(2n - 1) + 1/(2n) > 13/24 (n ∈ N*)

Với n = 1, ta có : 1/2 + 1/3 + ... + 1/2 > 13/24 (đúng)

Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k

Nghĩa là : 1/(k + 1) + 1/(k + 2) + ... + 1/(2k - 2) + 1/(2k - 1) + 1/(2k) > 13/24 (1)

Ta cần chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k + 1

Nghĩa là : 1/(k + 2) +1/(k + 3) + ... + 1/(2k) + 1/(2k + 1) + 1/(2k + 2) > 13/24 (2)

<=> [1/(k + 1) + 1/(k + 2) + 1/(k + 3) + ... + 1/(2k)] + 1/(2k + 1) + 1/(2k + 2) - 1/(k + 1) > 13/24

Ta chứng minh : 1/(2k + 1) + 1/(2k + 2) - 1/(k + 1) > 0 (3)

<=> [2(k + 1) + (2k + 1) - 2(2k + 1)] / [2(2k + 1)(k + 1)] > 0

<=>1 / [2(2k + 1)(k + 1)] > 0 (4)

Vì k ∈ N* => [2(2k + 1)(k + 1)] > 0 => (4) đúng => (3) đúng

Cộng (1) và (3) được :

1/(k + 2) +1/(k + 3) + ... + 1/(2k) + 1/(2k + 1) + 1/(2k + 2) > 13/24

=> (2) đúng

Theo quy nạp => Điều cần chứng minh là đúng => đpcm

Làm cách thông dụng nhất là quy đồng .

Khai triển VT ta có :

\(1+\dfrac{1}{n^2}+\dfrac{1}{\left(n+1\right)^2}\)

\(=\dfrac{n^2\left(n+1\right)^2+\left(n+1\right)^2+n^2}{n^2\left(n+1\right)^2}\)

\(=\dfrac{n^4+2n^3+n^2+n^2+2n+1+n^2}{n^2\left(n+1\right)^2}\)

\(=\dfrac{n^4+2n^3+3n^2+2n+1}{n^2\left(n+1\right)^2}\)

\(=\dfrac{\left(n^2+n+1\right)^2}{n^2\left(n+1\right)^2}\)

Vậy đẳng thức đã được chứng minh :3

Bài nào vậy ???

Chứng minh rằng:
\(\sqrt{15}\) là số vô tỉ
Gỉa sử \(\sqrt{15}\) là số hữu tỉ thì nó được viết dưới dạng :
\(\sqrt{15}=\dfrac{m}{n}\) với m,n ∈ N,(m,n)=1
Do 15 không là số chính phương nên \(\dfrac{m}{n}\) không là số tự nhiên, do đó n>1
Ta có \(m^2=15n^2\)
Gọi p là ước nguyên tố của m và n, trái với (m,n)=1.
→ Gỉa sử sai
Vậy \(\sqrt{15}\) là số vô tỉ.

a) ĐKXĐ: \(x\ge-\sqrt{2}\)

Ta có: \(\sqrt{x+\sqrt{2}}\ge0\Rightarrow-\sqrt{x+\sqrt{2}}\le0\)

\(\Rightarrow A=1-\sqrt{x+\sqrt{2}}\le1\)

Vậy: GTLN của A là 1 khi \(\sqrt{x+\sqrt{2}}=0\Leftrightarrow x=-\sqrt{2}\)

b) ĐKXĐ: \(x\ge-2\)

Ta có: \(\sqrt{x+2}\ge0\)

\(\Rightarrow B=\sqrt{x+2}+\dfrac{1}{5}\ge\dfrac{1}{5}\)

Vậy: GTNN của B là \(\dfrac{1}{5}\)khi \(\sqrt{x+2}=0\Leftrightarrow x=-2\)