Cho hình thang ABCD có hai đáy AB = a, CD = 2a. Gọi M và N là trung điểm AD và BC. Tính \(\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}-\overrightarrow{MN}\right|\).
0,5a. a. 2a. 1,5a. Hướng dẫn giải:
Gọi E là giao điểm của MN và AC; F là điểm trên cạnh DC sao cho NF song song với AD. Vì MN là đường trung bình của hình thang nên ME cũng là đường trung bình của tam giác ADC, ME là trung tuyến của tam giác MAC, do đó \(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}=2\overrightarrow{ME}=\overrightarrow{DC}\).
Hình MNFD là hình bình hành nên \(\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{DF}\) , từ đó \(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}-\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{DC}-\overrightarrow{DF}=\overrightarrow{FC}\)
và \(\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}-\overrightarrow{MN}\right|=FC\).
Tính FC: Gọi I là trung điểm của đáy DC. Từ giả thiết suy ra DI = a =AB , do đó BI // AD // NF , vì vậy NF là đường trung bình của tam giác CBI, F là trung điểm IC, do đó FC = 0,5 IC = 0,5a.
Đáp số: 0,5a.