Cho ABC là tam giác vuông đỉnh A. Hãy lập một hệ thưc giữa 3 đường trung tuyến AD, BE, CF của tam giác ABC.
\(2BE^2+3CF^2=5AD^2\) \(3CF^2+2BE^2=5AD^2\) \(CF^2+BE^2=5AD^2\) \(CF^2+BE^2=3AD^2\) Hướng dẫn giải:Vì trung tuyến thuộc cạnh huyền thì bằng nửa cạnh huyền nên \(2AD=BC\) . Hơn nữa, theo Pitago thì
\(BE^2=AB^2+AE^2=AB^2+\frac{AC^2}{4}\)
\(CF^2=AC^2+AF^2=AC^2+\frac{AB^2}{4}\)
Cộng theo vế ta được :
\(BE^2+CF^2=\frac{5}{4}\left(AB^2+AC^2\right)=\frac{5}{4}BC^2=\frac{5}{4}4AD^2=5AD^2\)
Vậy ba trung tuyến của tam giác vuông ABC (vuông tại A) liên hệ với nhau bởi \(BE^2+CF^2=5AD^2\).