Violympic toán 9

Nam Đỗ

cho 3 số dương x,y,z thỏa mãn xyz=1 và \(x+y+z>\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\).

Chứng minh rằng trong 3 số x,y,z chỉ có đúng 1 số lớn hơn 1

Nguyễn Việt Lâm
8 tháng 3 2019 lúc 13:38

Không mất tính tổng quát, giả sử \(x\le y\le z\)

Do \(xyz=1\)

\(x+y+z>1\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=xyz\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=xy+xz+yz\)

\(\Rightarrow x+y+z-\left(xy+xz+yz\right)>0\)

Xét:

\(\left(x-1\right)\left(y-1\right)\left(z-1\right)=\left(x-1\right)\left(yz-y-z+1\right)=xyz-xy-xz+x-yz+y+z-1\)

\(=x+y+z-\left(xy+xz+yz\right)>0\)

\(\Rightarrow\left(x-1\right)\left(y-1\right)\left(z-1\right)>0\)

Do \(x\le y\le z\) ta chỉ có 2 trường hợp sau

TH1: \(\left\{{}\begin{matrix}x-1>0\\y-1>0\\z-1>0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x>1\\y>1\\z>1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow xyz>1\) (mâu thuẫn giả thiết)

TH2: \(\left\{{}\begin{matrix}x-1< 0\\y-1< 0\\z-1>0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x< 1\\y< 1\\z>1\end{matrix}\right.\)

Vậy trong 3 số có đúng 1 số lớn hơn 1

Bình luận (0)

Các câu hỏi tương tự
Nguyễn Lâm Ngọc
Xem chi tiết
Tạ Uyên
Xem chi tiết
Nguyễn Hoàng Minh
Xem chi tiết
Nguyễn Khánh Huyền
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết
Hày Cưi
Xem chi tiết
Viêt Thanh Nguyễn Hoàn...
Xem chi tiết
Nguyễn Hoàng Minh
Xem chi tiết