Question

Cho x,y,z là các số thực dương. Chứng minh rằng:

\(\dfrac{1}{x^3+y^3+xyz}+\dfrac{1}{y^3+z^3+xyz}+\dfrac{1}{z^3+x^3+xyz}\le\dfrac{1}{xyz}\)

Answer 1

do x,y,z là các số dương nên

\(x^2-xy+y^2\ge xy\Leftrightarrow x^3+y^3\ge xy\left(x+y\right)\)

tương tự ta cũng có : \(y^3+z^3\ge yz\left(y+z\right)\)

\(z^3+x^3\ge zx\left(z+x\right)\)

\(\Rightarrow\Sigma\dfrac{1}{x^3+y^3+xyz}\le\Sigma\dfrac{1}{xy\left(x+y+z\right)}=\dfrac{1}{x+y+z}\left(\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{yz}+\dfrac{1}{xz}\right)\)

\(=\dfrac{1}{x+y+z}\left(\dfrac{x+y+z}{xyz}\right)=\dfrac{1}{xyz}\left(đpcm\right)\)