Question

Cho 3 số dương x,y,z thỏa mãn \(\dfrac{1}{1+x}+\dfrac{1}{1+y}+\dfrac{1}{1+z}\ge2\)

CMR: \(xyz\le\dfrac{1}{8}\)

Answer 1

Ta có: \(\dfrac{1}{1+x}\ge2-\dfrac{1}{1+y}-\dfrac{1}{1+z}=1-\dfrac{1}{1+y}+1-\dfrac{1}{1+z}\)

\(=\dfrac{y}{1+y}+\dfrac{z}{1+z}=2\sqrt{\dfrac{yz}{\left(1+y\right)\left(1+z\right)}}\)

Tương tự vs 2 bđt còn lại: \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{1+y}\ge2\sqrt{\dfrac{xz}{\left(1+x\right)\left(1+z\right)}}\\\dfrac{1}{1+z}\ge2\sqrt{\dfrac{xy}{\left(1+x\right)\left(1+y\right)}}\end{matrix}\right.\)

Nhân các vế của 3 bđt trên => ĐPCM