Gọi pt d có dạng \(y=kx+b\Rightarrow1=k.0+b\Rightarrow b=1\)
\(\Rightarrow\) pt d có dạng \(y=kx+1\)
Phương trình hoành độ giao điểm (P) và d: \(x^2-kx-1=0\) (1)
Do \(ac=-1< 0\Rightarrow\left(1\right)\) luôn có 2 nghiệm trái dấu, do vai trò của A, B như nhau nên giả sử điểm có hoành độ âm là A, điểm hoành độ dương là B \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_Ax_B=-1\\x_A+x_B=k\\x_B-x_A=\dfrac{\sqrt{\Delta}}{a}=\dfrac{\sqrt{k^2+4}}{1}=\sqrt{k^2+4}\end{matrix}\right.\)
Gọi M, N lần lượt là hai điểm trên Ox có cùng hoành độ với A và B \(\Rightarrow M\left(x_A;0\right);N\left(x_B;0\right)\)
Ta có \(ABNM\) là hình thang vuông tại \(M;N\) ; các tam giác \(AMO;BNO\) là các tam giác vuông
\(\Rightarrow S_{OAB}=S_{ABNM}-S_{AMO}-S_{BNO}=\dfrac{1}{2}\left(y_A+y_B\right)\left(x_B-x_A\right)+\dfrac{1}{2}x_A.y_A-\dfrac{1}{2}x_By_B\)
\(=\dfrac{1}{2}y_Ax_B-\dfrac{1}{2}y_Ax_A+\dfrac{1}{2}y_Bx_B-\dfrac{1}{2}y_Bx_A+\dfrac{1}{2}x_Ay_A-\dfrac{1}{2}x_By_B\)
\(=\dfrac{1}{2}\left(y_Ax_B-x_Ay_B\right)=\dfrac{1}{2}\left(x_A^2.x_B-x_A.x_B^2\right)=\dfrac{1}{2}x_Ax_B\left(x_A^2-x_B^2\right)\)
\(=\dfrac{1}{2}\left(x_B^2-x_A^2\right)=\dfrac{1}{2}\left(x_B-x_A\right)\left(x_B+x_A\right)=\dfrac{1}{2}k\sqrt{k^2+4}\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{2}k\sqrt{k^2+4}=2\sqrt{2}\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}k>0\\k^2\left(k^2+4\right)=32\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}k>0\\k^4+4k^2-32=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow k=2\)
Vậy với \(k=2\) thì \(S_{OAB}=2\sqrt{2}\)
