Question

Cho x > 0 , y > 0 và x + y < 1 . Chứng minh rằng

\(\dfrac{1}{x^2+xy}+\dfrac{1}{y^2+xy}\) \(\ge\) 4

Answer 1

\(VT=\dfrac{1}{x^2+xy}+\dfrac{1}{y^2+xy}\)

\(\ge\dfrac{4}{x^2+2xy+y^2}\)

\(=\dfrac{4}{\left(x+y\right)^2}>4\)

Answer 2

Cách khác.

Ta có: \(A=\dfrac{1}{x\left(x+y\right)}+\dfrac{1}{y\left(x+y\right)}=\dfrac{1}{x+y}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)\)

\(=\dfrac{1}{x+y}.\dfrac{x+y}{xy}=\dfrac{1}{xy}\)

Áp dụng BĐT cho các số x,y >0 , ta có:

\(x+y\ge2\sqrt{xy}\Rightarrow\left(x+y\right)^2\ge4xy\Rightarrow\dfrac{\left(x+y\right)^2}{4}\ge xy\)

Và x+y \(\le\)1 \(\Rightarrow xy\le\dfrac{1}{4}\) \(\Rightarrow A\ge\dfrac{1}{\dfrac{1}{4}}=4\)

Dấu ''='' xảy ra khi x = y =0,5