Question

Cho hình chóp tứ diện đều S.ABCD có canh đáy a, cạnh bên hợp với đáy một góc 60 ° . Gọi M là điểm đối xứng với C qua D, N là trung điểm của SC, mặt phẳng (BMN) chia khối chóp S.ABCD thành 2 phần. Tính tỉ số thể tích của hai phần đó.

A. 7 5

B.  7 3

C.  1 7

D.  1 5

Answer 1

Đáp án A

Áp dụng định lí Menelaus cho Δ S C D  ta có:

N S N C . M C M D . P D P S = 1 ⇒ P D P S = 1 2 ⇒ P D S D = 1 3 .

Ta có: V P . B Q D C V S . A B C D = 1 3 . d P , A B C D . S B C D Q 1 3 . d S , A B C D . S A B C D = 1 3 . 3 4 = 1 4

⇒ V P . B Q D C = 1 4 V S . A B C D .

V P . N C B V S . A B C D = V P . N C B 2. V D . S C B = 1 3 . d P , S C B . S Δ N C B 2. 1 3 . d D , S C B . S Δ S C B = 1 2 . 2 3 . 1 2 = 1 6 ⇒ V P . N C B = 1 6 V S . A B C D .

Do đó V P Q D . N B C = V P . B Q D C + V P . N C B = 5 12 V S . A B C D .

Vậy tỉ số thể tích của 2 phần cần tìm là 7 5 .