Violympic toán 8

Trung Nguyen

Tìm x;y;z là các số nguyên tố thỏa mãn: x2+y3=z4

Bùi Thị Vân
Bùi Thị Vân 27 tháng 12 2017 lúc 14:47

Ta có \(y^3=z^4-x^2=\left(z^2+x\right)\left(z^2-x\right)\). Suy ra \(y^3\) có ước \(z^2+x\). Do y là số nguyên tố nên \(z^2+x\) có dạng \(y^0,y^1,y^2,y^3\). Th1: \(z^2+z=y^0=1\) (mâu thuẫn). Th2: \(z^2+z=y^1=y\), khi đó do \(\left(z^2+x\right)\left(z^2-x\right)=y^3\) nên: \(\left\{{}\begin{matrix}z^2+x=y\\z^2-x=y^2\end{matrix}\right.\) , suy ra \(z^2-x>z^2+x\) ( vô lỹ do x, y, z là các số nguyên tố). Th3: \(z^2+z=y^2\), ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}z^2+x=y^2\\z^2-x=y\end{matrix}\right.\) suy ra \(x=\dfrac{y^2-y}{2}=\dfrac{y\left(y-1\right)}{2}\). Nếu y = 2 thì \(x=\dfrac{2\left(2-1\right)}{2}=1\). Nếu y = 3 thì \(x=\dfrac{3\left(3-1\right)}{2}=3\) , khi đó: \(x^2+y^3=3^2+3^3=36=z^4\) (không có z thỏa mãn). Nếu \(y>3\) thì y là một số nguyên tố lẻ lớn hơn hoặc bằng 5. Khi đó \(\dfrac{y-1}{2}\) là một số dương lớn hơn 2 và vì vậy \(x=\dfrac{y\left(y-1\right)}{2}\) có hai ước là \(y,\dfrac{y-1}{2}\) - mâu thuẫn do x là một số nguyên tố. vậy không có x, y, z thỏa mãn.

Bình luận (0)

Các câu hỏi tương tự

Khoá học trên OLM của Đại học Sư phạm HN

Loading...

Khoá học trên OLM của Đại học Sư phạm HN