Căn bậc hai

Trần Bảo Bảo

Tính giá trị của biểu thức P= \(\sqrt{x\left(4-y\right)\left(4-z\right)}+\sqrt{y\left(4-x\right)\left(4-z\right)}+\sqrt{z\left(4-y\right)\left(4-x\right)}-\sqrt{xyz}\)

Trong đó x,y,z là các số thực dương thỏa mãn: x+y+z= 4 - \(\sqrt{xyz}\)

Unruly Kid
21 tháng 7 2017 lúc 16:29

\(x+y+z=4-\sqrt{xyz}\)

\(\Leftrightarrow x+y+z+\sqrt{xyz}=4\)

\(\Leftrightarrow4\left(x+y+z\right)+4\sqrt{xyz}=16\)

Ta có: \(x\left(4-y\right)\left(4-z\right)\)

\(=x\left[16-4\left(y+z\right)+yz\right]\)

\(=x\left[4\left(x+y+z\right)+4\sqrt{xyz}-4\left(y+z\right)+yz\right]\)

\(=x\left(4x+4\sqrt{xyz}+yz\right)\)

\(=x\left(2\sqrt{x}+\sqrt{yz}\right)^2\)

\(\Rightarrow\sqrt{x\left(4-y\right)\left(4-z\right)}=\sqrt{x}\left(2\sqrt{x}+\sqrt{yz}\right)\)

\(=2x+\sqrt{xyz}\)

Tương tự: \(\sqrt{y\left(4-z\right)\left(4-z\right)}=2y+\sqrt{xyz}\)

\(\sqrt{z\left(4-x\right)\left(4-y\right)}=2z+\sqrt{xyz}\)

Cộng vế theo vế các đẳng thức vừa chứng minh ta được:

\(P=2\left(x+y+z\right)+3\sqrt{xyz}=2\left(4-\sqrt{xyz}\right)+3\sqrt{xyz}=8+\sqrt{xyz}\)

Bình luận (1)

Các câu hỏi tương tự

Khoá học trên OLM của Đại học Sư phạm HN

Loading...

Khoá học trên OLM của Đại học Sư phạm HN